Toán NC lớp 9 - Bài 5: Hệ thức về cạnh và đường cao

Bài giảng sẽ giúp các em nắm được kiến thức cơ bản và nâng cao về Hệ thức về cạnh và đường cao:

• Các hệ thức về cạnh và đường cao
• Một số bài tập nâng cao

A. Lý thuyết

Cho tam giác ABC, \(\widehat A = {90^o}\), AH là đường cao

1. \(\begin{array}{l}
A{B^2} = BH.BC\\
A{C^2} = CH.CB
\end{array}\)

2. \(HB.HC = H{A^2}\)

3. \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

4. \(AH.BC = AB.AC\left( { = 2{S_{ABC}}} \right)\)

5. \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)

B. Bài tập

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, \(\widehat A = {90^o}\), đường cao \(AH = \frac{{12a}}{5}\), BC=5a. giả sử AB>AC. Tính:

a. AB, AC

b. HB, HC

Giải

a. Cách 1: 

\(AB.AC = AH.BC = \frac{{12a}}{5}5{\rm{a}} = 12{{\rm{a}}^2}\left( 1 \right)\)

Theo Pitago \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 25{a^2}\left( 2 \right)\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow AB + AC = 7a\,\left( 3 \right)\\
{\left( {AB - AC} \right)^2} = A{B^2} - 2{\rm{AB}}.AC + A{C^2} = {a^2}\\
 \Rightarrow AB - AC = a\,\left( 4 \right)\,\,\left( {do\,\,\,AB > AC} \right)
\end{array}\)

Từ (3) và (4) 

\(\begin{array}{l}
AB = \frac{{7a + a}}{2} = 4{\rm{a}}\\
AC = \frac{{7a

Cách 2: 

\[(begin{array}{l}
AB.AC = 12{{\rm{a}}^2} \Rightarrow AB = \frac{{12{a^2}}}{{AC}}\left( 5 \right)\\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 25{a^2}\left( 6 \right)
\end{array}\)

Từ (5) và (6) ta có: \({\left( {\frac{{12{a^2}}}{{AC}}} \right)^2} + A{C^2} = 25{a^2}\)

Đặt \(x = A{C^2}\) ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{144{a^4}}}{x} + x = 25{{\rm{a}}^2}\\
 \Leftrightarrow 144{{\rm{a}}^4} + {x^2} = 25x{{\rm{a}}^2}\\
 \Leftrightarrow 144{{\rm{a}}^4} - 25x{{\rm{a}}^2} + {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow 144{{\rm{a}}^4} - 16{{\rm{a}}^2}x - 9{{\rm{a}}^2}x + {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow 16{{\rm{a}}^2}\left( {9{{\rm{a}}^2} - x} \right) - x\left( {9{{\rm{a}}^2} - x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {9{{\rm{a}}^2} - x} \right)\left( {16{{\rm{a}}^2} - x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 9{{\rm{a}}^2}\\
x = 16{{\rm{a}}^2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

TH1: 

\(\begin{array}{l}
x = 9{{\rm{a}}^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 9{a^2} \Leftrightarrow AC = 3a\\
A{B^2} = 25{a^2} - 9{{\rm{a}}^2} = 16{{\rm{a}}^2}\\
 \Leftrightarrow AB = 4{\rm{a}}
\end{array}\)

Vậy AC=3a, AB=4a

TH2:

\(x = 16{a^2} \Leftrightarrow AC = 16{a^2}.A{B^2} = 25{a^2} - 16{a^2} = 9{{\rm{a}}^2}\) (loại)

Vậy AB=4a, AC=3a

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC câ tại A, có đường cao AH, BK. CMR: \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4{\rm{A}}{H^2}}}\)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có \(\widehat A < {90^o}\), đường cao AH. Chứng minh rằng \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2{\rm{A}}H.AC\)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Trên các cạnh HB, HC lần lượt lấy điểm M, N sao cho \(\widehat {AMC} = \widehat {ANB} = {90^o}\). Chứng minh rằng tam giác AMN cân