Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0973 686 401
Nền tảng học Online#1 cho HS Tiểu Học

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

Bài giảng sẽ giúp các em nắm được kiến thức cơ bản và nâng cao về Hệ thức về cạnh và đường cao:

  • Các hệ thức về cạnh và đường cao
  • Một số bài tập nâng cao

NỘI DUNG BÀI HỌC

A. Lý thuyết

Cho tam giác ABC, \(\widehat A = {90^o}\), AH là đường cao

1. \(\begin{array}{l}
A{B^2} = BH.BC\\
A{C^2} = CH.CB
\end{array}\)

2. \(HB.HC = H{A^2}\)

3. \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

4. \(AH.BC = AB.AC\left( { = 2{S_{ABC}}} \right)\)

5. \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}\)

B. Bài tập

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, \(\widehat A = {90^o}\), đường cao \(AH = \frac{{12a}}{5}\), BC=5a. giả sử AB>AC. Tính:

a. AB, AC

b. HB, HC

Giải

a. Cách 1: 

\(AB.AC = AH.BC = \frac{{12a}}{5}5{\rm{a}} = 12{{\rm{a}}^2}\left( 1 \right)\)

Theo Pitago \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 25{a^2}\left( 2 \right)\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow AB + AC = 7a\,\left( 3 \right)\\
{\left( {AB - AC} \right)^2} = A{B^2} - 2{\rm{AB}}.AC + A{C^2} = {a^2}\\
 \Rightarrow AB - AC = a\,\left( 4 \right)\,\,\left( {do\,\,\,AB > AC} \right)
\end{array}\)

Từ (3) và (4) 

\(\begin{array}{l}
AB = \frac{{7a + a}}{2} = 4{\rm{a}}\\
AC = \frac{{7a

Cách 2: 

\[(begin{array}{l}
AB.AC = 12{{\rm{a}}^2} \Rightarrow AB = \frac{{12{a^2}}}{{AC}}\left( 5 \right)\\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 25{a^2}\left( 6 \right)
\end{array}\)

Từ (5) và (6) ta có: \({\left( {\frac{{12{a^2}}}{{AC}}} \right)^2} + A{C^2} = 25{a^2}\)

Đặt \(x = A{C^2}\) ta có 

\(\begin{array}{l}
\frac{{144{a^4}}}{x} + x = 25{{\rm{a}}^2}\\
 \Leftrightarrow 144{{\rm{a}}^4} + {x^2} = 25x{{\rm{a}}^2}\\
 \Leftrightarrow 144{{\rm{a}}^4} - 25x{{\rm{a}}^2} + {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow 144{{\rm{a}}^4} - 16{{\rm{a}}^2}x - 9{{\rm{a}}^2}x + {x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow 16{{\rm{a}}^2}\left( {9{{\rm{a}}^2} - x} \right) - x\left( {9{{\rm{a}}^2} - x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {9{{\rm{a}}^2} - x} \right)\left( {16{{\rm{a}}^2} - x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 9{{\rm{a}}^2}\\
x = 16{{\rm{a}}^2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

TH1: 

\(\begin{array}{l}
x = 9{{\rm{a}}^2} \Leftrightarrow A{C^2} = 9{a^2} \Leftrightarrow AC = 3a\\
A{B^2} = 25{a^2} - 9{{\rm{a}}^2} = 16{{\rm{a}}^2}\\
 \Leftrightarrow AB = 4{\rm{a}}
\end{array}\)

Vậy AC=3a, AB=4a

TH2:

\(x = 16{a^2} \Leftrightarrow AC = 16{a^2}.A{B^2} = 25{a^2} - 16{a^2} = 9{{\rm{a}}^2}\) (loại)

Vậy AB=4a, AC=3a

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC câ tại A, có đường cao AH, BK. CMR: \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4{\rm{A}}{H^2}}}\)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có \(\widehat A < {90^o}\), đường cao AH. Chứng minh rằng \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2{\rm{A}}H.AC\)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Trên các cạnh HB, HC lần lượt lấy điểm M, N sao cho \(\widehat {AMC} = \widehat {ANB} = {90^o}\). Chứng minh rằng tam giác AMN cân

 

 

 

Học trọn năm chỉ với 900.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học kỳ 1: Toán nâng cao lớp 9

Chuyên đề nâng cao về căn bậc hai, căn bậc ba; hàm số bậc nhất; hệ thức lượng trong tam giác vuông; một số vấn đề liên quan đến đường tròn...
20
28
30
00:49:17 Bài 17: Hàm số bậc nhất
Hỏi đáp
48
00:24:13 Kiểm tra cuối học kì I
Hỏi đáp

Học kỳ 2: Toán nâng cao lớp 9

Chuyên đề nâng cao về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; hàm số y=ax^2, phương trình bậc hai một ẩn; các góc liên quan đến đường tròn; tứ giác nội tiếp; hình trụ - hình nón - hình cầu...
58
00:39:17 Bài 9: Tứ giác nội tiếp
Hỏi đáp
68
00:35:56 Kiểm tra giữa kì II
Hỏi đáp
84
00:14:42 Bài 31: Hình cầu
Hỏi đáp
85
88
00:36:08 Kiểm tra cuối học kì II
Hỏi đáp