Toán NC lớp 9 - Bài 1: Tính giá trị biểu thức chứa căn

Bài giảng sẽ giúp các em nắm được kiến thức cơ bản và nâng cao về Tính giá trị của biểu thức chứa căn:

• Lý thuyết về biểu thức chứa căn
• Các dạng toán tính giá trị biểu thức chứa căn

A. Lý thuyết

• \(\sqrt a \) có nghĩa khi \(a \ge 0\)
• \(\sqrt {{a^2}}  = |a| = \left\{ \begin{array}{l}
  a\,\,\left( {a \ge 0} \right)\\
   - a\,\,\left( {a < 0} \right)
  \end{array} \right.\)
• \(a \ge 0,b \ge 0\) thì \(\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b \)
• \(a \ge 0,b > 0\) thì \(\sqrt {\frac{a}{b}}  = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
• \(b \ge 0,\) thì \(\sqrt {{a^2}b}  = |a|.\sqrt b \)
• \(\frac{1}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \frac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}\,\,\left( {a \ge 0;b \ge 0;a \ne b} \right)\)
• \(\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {x^3} = a\)

VD: 

\(\begin{array}{l}
\sqrt[3]{8} = 2\\
\sqrt[3]{{ - 8}} =  - 2
\end{array}\)

B. Bài tập

1. Ta chỉ làm gọn được các tổng và hiệu căn thức nếu chúng đồng dạng

VD1: Tính \(A = \sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  + \frac{1}{{2\sqrt 5 }} - \frac{3}{{\sqrt {20} }}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}
A = \sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  + \frac{1}{{2\sqrt 5 }} - \frac{3}{{\sqrt {20} }}\\
 = \sqrt {{2^2}.5}  + 3\sqrt {{3^2}.5}  + \frac{1}{{10}}\sqrt 5  - \frac{3}{{\sqrt {{2^2}5} }}\\
 = 2\sqrt 5  + 9\sqrt 5  + \frac{1}{{10}}\sqrt 5  - \frac{3}{{10}}\sqrt 5 \\
 = \left( {2 + 9 + \frac{1}{{10}} - \frac{3}{{10}}} \right)\sqrt 5 \\
 = \frac{{54}}{5}\sqrt 5  = \frac{{54}}{{\sqrt 5 }}
\end{array}\)

2. Tính giá trị biểu thức dạng \(\sqrt {A + 2\sqrt B } \)

Phương pháp: 

• Phân tích \(\sqrt B  = \sqrt {{b_1}} \sqrt {{b_2}} \)
• Chọn b_1, b₂ sao cho \({b_1} + {b_2} = A\)
• Khi đó 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {A \pm 2\sqrt B }  = \sqrt {{{\left( {{b_1}} \right)}^2} + {{\left( {{b_2}} \right)}^2} \pm 2\sqrt {{b_1}{b_2}} } \\
 = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{b_1}}  \pm \sqrt {{b_2}} } \right)}^2}}  = \left| {\sqrt {{b_1}}  \pm \sqrt {{b_2}} } \right|
\end{array}\)

VD1: Tính \(A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)

Giải:

\(\begin{array}{l}
A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\
 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2} - 2\sqrt 3 } \\
 = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  - 1} \right| = \sqrt 3  - 1
\end{array}\)

VD2: Tính \(B = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \)

Giải:

\(\begin{array}{l}
B = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \\
 = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 3 }  = \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\
 = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 
\end{array}\)

3. Tính giá trị biểu thức dạng 

\(T = \sqrt {A \pm \sqrt B }  \pm \sqrt {A \mp \sqrt B } \)

Phương pháp: 

• Nhận xét \(T \ge 0\) hay \(T \le 0\)
• Tính T². Suy ra T

VD4: Tính \(T = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  - \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } \)

VD5: Tính \(T = \sqrt {4 - \sqrt 7 }  - \sqrt {4 + \sqrt 7 } \)

4. Tính \(T = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_n}\)

VD6: \(T = \frac{1}{{\sqrt 1  + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} + \frac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 7 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {119}  + \sqrt {121} }}\)

5. Tính \(T = \sqrt[3]{{A \pm B}} \pm \sqrt[3]{{A \mp B}}\)

Phương pháp:

• Sử dụng 

\(\begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3{\rm{x}}y\left( {x + y} \right)\\
{\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - {y^3} - 3{\rm{x}}y\left( {x + y} \right)
\end{array}\)

• Đưa về phương trinh ẩn T. Giải tìm T

VD7: Tính \(T = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)

6. Tính \(T = {a_1}.{a_2}.{a_3}...{a_n}\)

Phân tích: \({a_1} = \frac{{{b_1}}}{{{b_0}}};{a_2} = \frac{{{b_2}}}{{{b_1}}};{a_3} = \frac{{{b_3}}}{{{b_2}}};...;{a_n} = \frac{{{b_n}}}{{{b_1}}}\)