Toán NC lớp 8 - Bài 1: Nhân đa thức. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài giảng sẽ giúp các em nắm được kiến thức cơ bản và nâng cao về  nhân đa thức và những hằng đẳng thức đáng nhớ

• Nhân đơn thức với đa thức
• Nhân đa thức với đa thức
• Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ

1. Nhân đơn thức với đa thức : A(B+C) = A.B + A.C

2. Nhân đa thức với đa thức : (A+B)(C+D) = AC+AD+BC+BD

Ví dụ 1: Tính

 \(\begin{array}{l}
a.3{x^2}y\left( {2{x^3} - xy + {y^2}} \right)\\
b.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l}
a.3{x^2}y\left( {2{x^3} - xy + {y^2}} \right) = 6{x^5}y - 3{x^3}{y^2} + 3{x^2}{y^3}\\
b.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right) = {x^3} + {x^2}y - {x^2}y - x{y^2} + x{y^2} + {y^3} = {x^3} + {y^3}
\end{array}\)

3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

a) Bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

b) Bình phương của một hiệu: \{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\

c) Hiệu của hai bình phương: \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\)

Ví dụ 2: Tính 

\(a){\left( {{x^2} + 3y} \right)^2}\,\,\,\,\,b){\left( {2{x^3} - \frac{1}{2}y} \right)^2}\,\,\,\,\,\,c)\left( {5x + {y^3}} \right)\left( {5x - {y^3}} \right)\)

Hướng dẫn

\(\begin{array}{l}
a){\left( {{x^2} + 3y} \right)^2} = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2{x^2}.3y + {\left( {3y} \right)^2} = {x^4} + 6{x^2}y + 9{y^2}\\
b){\left( {2{x^3} - \frac{1}{2}y} \right)^2} = {\left( {2{x^3}} \right)^2} - 2.2{x^3}.\frac{1}{2}y + {\left( {\frac{1}{2}y} \right)^2} = 4{x^6} - 2{x^3}y + \frac{1}{4}{y^2}\\
c)\left( {5x + {y^3}} \right)\left( {5x - {y^3}} \right) = {\left( {5x} \right)^2} - {\left( {{y^3}} \right)^2} = 25{x^2} - {y^6}\\

\end{array}\)

d) Lập phương của một tổng : \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

e) Lập phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

f) Tổng hai lập phương: \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)

g) Hiệu hai lập phương: \(\left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right) = {A^3} - {B^3}\)

Ví dụ 3: Tính

\(\begin{array}{l}
a){\left( {2x + y} \right)^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b){\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)^3}\,\,\,\\
c)\,\left( {4x + {y^2}} \right)\left( {16{x^2} - 4x{y^2} + {y^4}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 9} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn 

\(\begin{array}{l}
a){\left( {2x + y} \right)^3} = 8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {y^3}\\
\,b){\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)^3}\, = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}y + \frac{3}{4}x{y^2} + \frac{1}{8}{y^3}\\
c)\,\left( {4x + {y^2}} \right)\left( {16{x^2} - 4x{y^2} + {y^4}} \right)\,\, = \left( {4x + {y^2}} \right)\left[ {{{\left( {4x} \right)}^2} - 4x{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]\\
 = {\left( {4x} \right)^3} + {\left( {{y^2}} \right)^3} = 64{x^3} + {y^6}\\
d)\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^4} + 3{x^2} + 9} \right) = \left( {{x^2} - 3} \right)\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 3{x^2} + {3^2}} \right] = {\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3} = {x^6} - 27
\end{array}\)

B. MỘT SỐ BÀI TẠP NÂNG CAO