Loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác

31/08/2016 14:08

» Hình học không gian - P.2 Tổng hợp lý thuyết lớp 11
» Phương trình lượng giác - Phần 7: Phương trình lượng giác chứa căn thức
» Hình học không gian - P3: Các công thức tính thể tích

Với nhiều phương trình lượng giác ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp.

1. Phương pháp loại nghiệm trực tiếp.
Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp.

Ví Dụ: Giải phương trình: $\frac{{1 + \sin x}}{{\sin 4x}} = 0\,(1)$

Giải:

Điều kiện: $sin4x\neq 0$

Khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 + sinx = 0 \Leftrightarrow sinx = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$
Thay $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$ vào (*) xem có thoả mãn hay không?
$sin[4( - \frac{\pi }{2} + k2\pi )] = sin( - \frac{\pi }{2} + k2\pi ) = sin( - 2\pi ) = 0$
Suy ra $x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z$ không thoả mãn (*) .
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

2. Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác).

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm của phương trình.

Ví Dụ: Giải phương trình: $cos(x).cot(2x) = sin(x) (2)$

Giải:

Điều kiện:

$\begin{array}{l} sin\left( {2x} \right){\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}l\pi {\rm{ }}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}\frac{{n\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{ }}l{\rm{ }} \in {\rm{ }}Z} \right){\rm{ }}\left( * \right) \end{array}$
Khi đó phương trình (1)
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow cosxcos2xsin2x = sinx\\ \Leftrightarrow cos\left( x \right).cos\left( {2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}sin\left( x \right).sin\left( {2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}cos\left( x \right).cos\left( {2x} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}sin\left( x \right).sin\left( {2x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}cos\left( {3x} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}3x{\rm{ }} = \frac{\pi }{2}{\rm{ }} + {\rm{ }}k\pi \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \frac{\pi }{6} + {\rm{ }}\frac{{k\pi }}{3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right){\rm{ }}\left( {**} \right) \end{array}$
Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác.

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (2) là: $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\ x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$ .

3. Phương pháp đại số.
Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số.

Ví dụ: Giải phương trình: $\frac{{\cos 8x}}{{\sin 4x}} = 0\,(3)$

Giải:

Điều kiện:

Điều kiện $sin\left( {4x} \right){\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}4x{\rm{ }} \ne {\rm{ }}l\pi$ (với $l\in Z$ )
Khi đó: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow cos8x = 0 \Leftrightarrow 8x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8},k \in Z$
Gía trị này là nghiệm của (1) nếu: $\frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8} \ne \frac{{l\pi }}{4} \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 4l$
Điều này đúng vì $1 + 2k l$ à số lẻ còn $4n$ là số chẵn
Vậy nghiệm của phương trình (3) là $\frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{8},k \in \mathbb{Z}$ .

(Mod Toán)

Loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU