Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng cực trị

27/08/2016 13:23

» Phương trình lượng giác - Phần 7: Giải phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối (tt)
» Tổng hợp phương trình lượng giác trong các đề thi từ năm 2002 đến nay
» Hình học không gian - P1: Các công thức đã học ở lớp 9-10 cần nhớ

Biện luận nghiệm của phương trình bậc ba chứa tham số là dạng toán rất hay gặp trong khảo sát hàm số. Ứng dụng cực trị là một trong những cách rất hay để giải quyết bài toán này.

Chú ý: Phương trình đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực.

Xét phương trình bậc ba: $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,(a \ne 0)\,(1)$

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C):

$y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,(a \ne 0)$ với trục Ox.

1. (1) có 3 nghiệm phân biệt: (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt

$\Leftrightarrow$ (C) có hai điểm cực trị ${x_1},{x_2}$ nằm hai bên Ox $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x) = 0\,co\,hai\,nghiem\,phan\,biet\\ f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0 \end{array} \right.$

Để phương trình có 3 nghiệm đều dương giống như trên và bổ sung thêm điều kiện sau:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} > 0,{x_2} > 0\\ a.f(0) < 0 \end{array} \right.$

Để phương trình có 3 nghiệm đều âm giống như trên và bổ sung thêm điều kiện sau:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} < 0,{x_2} < 0\\ a.f(0) > 0 \end{array} \right.$

2. (1) có 2 nghiệm:

$\Leftrightarrow$ (C) có hai điểm cực trị ${x_1},{x_2}$ sao $f({x_1}).f\left( {{x_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x)\,co\,hai\,nghiem\,phan\,biet\\ f({x_1})f\left( {{x_2}} \right) = 0 \end{array} \right.$

3. (1) có 1 nghiệm:

$\Leftrightarrow$ (C) không có cực trị $\Leftrightarrow f'(x) = 0\,$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Hoặc có hai điểm cực trị ${x_1},{x_2}$ cùng nằm 1 bên trục Ox $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x) = 0\,co\,hai\,nghiem\,phan\,biet\\ f({x_1})f\left( {{x_2}} \right) > 0 \end{array} \right.$

Hy vọng bài viết sẽ giúp ich được cho các em trong việc biện luận nghiệm của phương trình bậc ba.

Link tải file: https://drive.google.com/open?id=0B8zKIVrD5quOQ3doYlJIU1NwM00

(Mod Toán)

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng cực trị

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU