Bài 1: Biến đổi đồng nhất

Phương pháp giải:

- Áp dụng các hằng đẳng thức

- Các tính chất cơ bản của căn bậc hai: \(\sqrt {{a^2}}  = |a|\)

1. Rút gọn biểu thức chứa căn

Dạng  \(\sqrt {a \pm 2\sqrt b } \) ---> Đưa về dạng \(\sqrt {{{\left( {\sqrt x  \pm \sqrt y } \right)}^2}}  = \left| {\sqrt x  \pm \sqrt y } \right|\)

--> Tìm cặp (x; y) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = a\\
xy = b
\end{array} \right.\)

VD1:Rút gọn \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \)

Ta có:

\(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 3  + 1} \right| = \sqrt 3  + 1\)

VD2: Rút gọn \(A = \sqrt {17 - 12\sqrt 2 } \)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A = \sqrt {17 - 12\sqrt 2 }  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 9  - \sqrt 8 } \right)}^2}} \\
 = \left| {\sqrt 9  - \sqrt 8 } \right| = \sqrt 9  - \sqrt 8  = 3 - 2\sqrt 2 
\end{array}\)

VD3:  Rút gọn \(A = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2  + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{2 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{2 + \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{2 - \sqrt {2 - 2\sqrt 3 } }}\\
 = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{2 + \left| {\sqrt 3  + 1} \right|}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{2 - \left| {\sqrt 3  - 1} \right|}}\\
 = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{3 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{3 - \sqrt 3 }}\\
 = \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}\\
 = \frac{{\sqrt 2 \frac{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}}{2}}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt 2 \frac{{{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}}{2}}}{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}\\
 = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\left( {\sqrt 3  + 1} \right) + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)} \right] = \sqrt 2 
\end{array}\)

2. Rút gọn biểu thức chứa biến:

VD1: Rút gọn biểu thức \(A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3{\rm{x}} + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\)

với \(x \ge 0;x \ne 9\)

Giải:Đặt \(a = \sqrt x  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ge 0,a \ne 3\\
x = {a^2}
\end{array} \right.\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l}
A = \left( {\frac{{2a}}{{a + 3}} + \frac{a}{{a - 3}} - \frac{{3{a^2} + 3}}{{{a^2} - 9}}} \right):\left( {\frac{{2a - 2}}{{a - 3}} - 1} \right)\\
 = \left( {\frac{{2{\rm{a}}\left( {a - 3} \right) + a\left( {a + 3} \right) - 3{{\rm{a}}^2} - 3}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}}} \right):\left( {\frac{{2{\rm{a}} - 2 - a + 3}}{{a - 3}}} \right)\\
 = \frac{{ - 3{\rm{a}} - 3}}{{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)}}.\frac{{a - 3}}{{a + 1}}\\
 = \frac{{ - 3}}{{a + 3}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}}
\end{array}\)

VD2: Rút gọn biểu thức:

\(A = \frac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \frac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}} & \,\,;\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)

3.  Rút gọn biểu thức có điều kiện

VD3: Cho \(a,b,c \ne 0\) thỏa mãn \(a + 2b - 3c = 0\,\left( 1 \right),bc + 2ca - 3{\rm{a}}b = 0\left( 2 \right)\). Chứng minh rằng a=b=c

Giải:

Từ (1) ta được a=3c-2b

Thay vào (2) suy  ra

\(\begin{array}{l}
0 = bc + 2c\left( {3c - 2b} \right) - 3b\left( {3c - 2b} \right)\\
 = bc + 6{c^2} - 4bc - 9bc + 6{b^2}\\
 = 6{b^2} - 12bc + 6{c^2}\\
 = 6{\left( {b - c} \right)^2}\\
 \Rightarrow b = c
\end{array}\)

Thay vào (1) ta được \(a = 3b - 2b = b\)

Vậy a=b=c (đpcm)

VD4: Cho a+b+c=0. Chứng minh rằng \(ab + 2bc + 3ca \le 0\)

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
ab + 2bc + 3ca = ab + ca + 2\left( {bc + ca} \right)\\
 = a\left( {b + c} \right) + 2c\left( {b + c} \right)\\
 =  - {a^2} - 2{c^2} \le 0\,\,\left( {dpcm} \right)
\end{array}\)