Trích bài giảng khóa H2 luyện thi THPT QG môn Toán 2017-Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình

02/09/2016 19:02

» Học toán cùng thầy Sỹ Nam - Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
» Học toán cùng thầy Sỹ Nam-Công thức cộng lượng giác
» Những lợi ích của việc luyện thi trực tuyến

Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình là một trong những ứng dụng rất hay của tính đơn điệu. Mời các em cùng theo dõi nội dung bài giảng "Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình" của TS. Phạm Sỹ Nam hiện đang là Giáo viên trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, đồng thời cũng là giảng viên trường ĐH Sài Gòn được trích từ H2 - Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017

I. Lý thuyết
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì pt f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trên (a;b) (Nhẩm nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất)
- Nếu f(x) đồng biến (nghịch biến) trên (a;b), $u,v\in (a;b),f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v$
- Nếu f'(x) = 0 có tối đa n nghiệm trên (a;b) thì f(x) = 0 có tối đa n +1 nghiệm trên (a;b)

II. Một số bài tập ví dụ

VD1: Giải pt $\sqrt{x^2+15}=3x-2+\sqrt{x^2+8}$
Giải
PT $\Leftrightarrow \sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2=0$
TH1: x>0
Xét $f(x)=\sqrt{x^2-15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2$ trên
$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3$
$=x(\frac{1}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+8}})-3<0$
Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$
x = 1 là nghiệm
x > 1 do hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $f(x)<f(1)=0$
0 < x < 1 do hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $f(x)>f(1)=0$
x = 1 là nghiệm duy nhất trên $(0;+\infty )$
$\sqrt{x^2+15}>\sqrt{x^2+8}$
$0>3x-2$
$\Rightarrow$ VT > VB
$x\leq 0$ không t/m
Kết luận: Tập nghiệm S={1}

VD2: Giải phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}=10$
Giải
ĐK: $x\geq 0$
Xét $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}$ trên $[0;+\infty )$
$\Rightarrow$ f(x) đồng biến trên $[0;+\infty )$
$f(1)=10\Rightarrow x=1$ là nghiệm
$x>1\Rightarrow f(x)>f(1)=10$ .Vậy $\forall x> 1$ không thỏa mãn
0 < x < 1 $\Rightarrow f(x)<f(1)=10$ . Vậy $\forall x\leq x\leq 1$ không thỏa mãn pt
Vậy tập nghiệm pt là {1}

VD3: Giải pt $8x^3+2x=(x+2)\sqrt{x+1}$
Giải

ĐK: $x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$

$pt\Leftrightarrow 8x^3+2x=(x+1)\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}$
Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ trên R
$f'(t)=3t^2+1>0$
$\Rightarrow f(1)$ đồng biến trên R
$(*)\Leftrightarrow f(2x)=f(\sqrt{x+1})$

$\Leftrightarrow 2x=\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq 0\\ 4x^2=x+1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.$
Vậy tập nghiệm là $\left \{ x=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \right \}$

VD4: Giải pt $3^x+5^x=2+6x$
Giải
$PT\Leftrightarrow 3^x+5^x-6x-2=0$
Xét $f(x)=3^x+5^x-6x-2$ trên R
$f'(x)=3^xln3+5^xln5-6$
$f''(x)=3^xln^23+5^xln^25>0$
$\Rightarrow f'(x)=0$ có tối đa 1 nghiệm
$\Rightarrow f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm
x = 0, x = 1 là các nghiệm
Vậy tập nghiệm phương trình {0;1}

VD5: Giải phương trình $(2x+1)(2+\sqrt{4x^2+4x+4}+3x(2+\sqrt{9x^2+3})=0$
Giải
PT $\Leftrightarrow (2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})=-3x(2+\sqrt{(-3x)^2+3})$
Xét $f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3})$ trên R
$f'(t)=2+\sqrt{t^2+3}+t.\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}$
$=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{1^2}{\sqrt{t^2+3}}>0$
* f(x) đồng biến trên R
* $pt\Leftrightarrow f(2x+1)=f(-3x)$
$\Leftrightarrow 2x+1=-3x$
$\Leftrightarrow 5x=-1$
$\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}$
Vậy tập nghiệm pt là $\left \{ x=-\frac{1}{5} \right \}$

Trên đây là bài giảng "Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình", các em có thể xem video bài giảng này, hoặc tham gia Khóa H2 - Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 để xem những bài giảng chất lượng khác của thầy TS.Phạm Sỹ Nam.

(Mod Toán)

Trích bài giảng khóa H2 luyện thi THPT QG môn Toán 2017-Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU