Công thức mũ và lôgarit cần nhớ

04/10/2016 16:07

» Thi trắc nghiệm, thi tổ hợp - có gì mà phải lăn tăn?
» Thi trắc nghiệm môn Toán: Xác suất đỗ ăn may ngang trúng độc đắc

Với việc môn toán sẽ thi bằng hình thức trắc nghiệm và nội dung chủ yếu trong chương trình lớp 12 thì chắc chắn mũ và lôgarit sẽ là một nội dung không thể thiếu. Đây có thể xem là một dạng toán dễ, nhưng để giải được bài tập thì yêu cầu trước hết là phải nắm được công thức.

1.Công thức mũ:

* Các đẳng thức cơ bản:

$1){\rm{ }}{a^\alpha }{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$ 2) $\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}$ 3) ${({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha \beta }}$

4) ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha }{b^\alpha }$ 5) ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}{\rm{ }}$ Với $a,b > 0$ , $\alpha ,\beta$ là những số thực tuỳ ý.

* Cho $\alpha ,\beta$ là các số thực tuỳ ý , ta có:

1) Với $a > 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta$ 2) Với $0 < a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta$

Nhận xét: Với $a,b > 0;a \ne b$ thì ${a^\alpha } = {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha = \beta$

* Cho $0 < a < b$ và số thực m, ta có:
1) ${a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0$ 2) ${a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0$

Nhận xét : Với $a,b > 0;a \ne b$ thì ${a^\alpha } = {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha = 0$ .

* Nếu n là số tự nhiên lẻ thì ${a^n} < {b^n} \Leftrightarrow a < b$ , $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} \Leftrightarrow a < b$ với mọi a,b.

Chú ý :

* Cho số thực $a > 0$ ; $m,n$ là hai số nguyên, $n > 0$ : ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$ .

* Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không.

* Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương.

2. Công thức Logarit

a. Định nghĩa: cho $a > 0,a \ne 1$ ; b > 0. Ta có: ${\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b$

Ví dụ : ${\log _2}8 = x \Leftrightarrow 8 = {2^x} \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow {\log _2}8 = 3$

Ta có kí hiệu: ${\log _{10}}a = \lg a$ (lô ga thập phân của a) và ${\log _e}a = \ln a$ (loga tự nhiên của a ).

b. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

$\bullet {\rm{ }}{\log _a}1 = 0$ $\bullet {\rm{ }}{\log _a}a = 1$ $\bullet${\log _a}{a^x} = x$$

c. Tính chất:

Cho $x,y > 0;0 < a \ne 1$ . Ta có:

$\bullet {\rm{ }}{\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y{\rm{ }}$ $\bullet{\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y$

Chú ý : Nếu $xy > 0$ thì ${\log _a}(xy) = {\log _a}|x| + {\log _a}|y|$ và ${\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}|x| - {\log _a}|y|$

d. Công thức đổi cơ số: Cho $0 < a,b \ne 1;c > 0$ , ta có: . ${\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$

Từ đó ta có các hệ quả sau:

$\bullet {\rm{ }}{\log _a}b.{\log _b}a = 1 \Leftrightarrow {\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}$ $\bullet {\rm{ lo}}{{\rm{g}}_{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b,\alpha \ne 0$

$\bullet {\rm{ }}{\log _b}c = {\log _b}a.{\log _a}c$ $\bullet {\rm{ }}{a^{{{\log }_b}c}} = {c^{{{\log }_b}a}}$

Nhận xét: Ta có: ${\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = \frac{\beta }{\alpha }{\log _a}b$ và ${\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b$

3. Hàm số mũ:

a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng $y = {a^x}$ với $a > 0;a \ne 1$

b. Tính chất: Hàm số mũ $y = {a^x}{\rm{ }}(0 < a \ne 1)$ có các tính chất sau

Tập xác định là R và tập giá trị là $(0; + \infty )$
Liên tục trên R.
a>0: hàm đồng biến, tức là ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}} \Leftrightarrow {x_1} > {x_2}$ .
$0 < a < 1 \Rightarrow$ hàm nghịch biến, tức là ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}} \Leftrightarrow {x_1} < {x_2}$ .
Giới hạn : $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {(1 + \frac{1}{x})^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{\frac{1}{x}}} = e$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$
Đạo hàm: $({a^x})' = {a^x}\ln a \Rightarrow \left( {{e^x}} \right)' = {e^x}$ và $\left( {{a^u}} \right)' = {a^u}.u'\ln a$

4. Hàm số Lôgarit

a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng $y = {\log _a}x$ , trong đó $0 < a \ne 1$ .

b. Tính chất: Các tính chất của hàm số lôgarit

Liên tục trên tập xác định $D = (0; + \infty )$ và tập giá trị R
a>1 hàm đồng biến $\Rightarrow {\log _a}{x_1} > {\log _a}{x_2} \Leftrightarrow {x_1} > {x_2} > 0$
0
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1$
Đạo hàm: với $x \ne 0$ ta có $\left( {\ln |x|} \right)' = \frac{1}{x} \Rightarrow \left( {{{\log }_a}|x|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}$ và $\left( {\ln |u|} \right)' = \frac{{u'}}{u}$ , $u \ne 0$ .

Mod Toán

Công thức mũ và lôgarit cần nhớ

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU