Bạn đọc với Hoc247 - Phương pháp tìm một nghiệm đúng của phương trình bậc ba

21/08/2016 14:15

Bài viết của bạn Bùi Minh Nguyên học sinh Trường THPT An Lão (Bình Định). Nội dung bài viết giới thiệu cách dùng công thức Cardano để tìm nghiệm đúng của phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm vô tỷ. Bài viết không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các bạn cho Nguyên.

I. Lịch sử ra đời

Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN.

Omar Khayyám (1048–1123)

Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố việc giải phương trình bậc ba nhờ giao của một thiết diện co-nic với đường tròn. Ông công bố rằng lời y có thể dùng để cho các lời giải số nhờ các bảng lượng giác.

Scipione del Ferro (1465-1526)

Sau này vào thế kỷ 16, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465-1526) tìm ra cách giải một lớp các phương trình bậc ba dạng x³ + mx = n với m và n đều lớn hơn 0.^[1]Thực ra, mọi phương trình bậc ba có thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều đó lúc này chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mới nói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore về nó.

Niccolo Tartaglia (1500-1557)

Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng. Ông nhận lời thách thức của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền và đưa ra một số bài toán cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày thì nhận tất cả số tiền.

Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng x³ + mx = n, đã đề xuất một phương pháp tổng quát hơn. Fiore giải quyết các vấn đề trong dạng x³ + mx² = n, khó hơn và Tartaglia đã thắng cuộc.

Gerolamo Cardano (1501-1576)

Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật của cách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ nó. Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca ngợi dành cho Tartaglia

Qua đoạn tiểu sử chắc hẳn chắc bạn cũng phần nào hiểu được nguồn gốc ra đời của phương trình bậc 3. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc 3.

II. Dạng tổng quát của phương trình bậc ba và cách tìm nghiệm đúng

$x^3+ax^2+bx+c=0$

Các bạn theo dõi qua từng bước của phương pháp ở phần cuối phương pháp mình sẽ giải thích vì sao người ta làm như vậy:

Cách giải:

Đặt:

$x = t - \frac{a}{3}$ , Khi đó (1) trở thành:

$\begin{array}{l} {(t - \frac{a}{3})^3} + a{(t - \frac{a}{3})^2} + b(t - \frac{a}{3}) + c = 0\\ < = > {t^3} + (b - \frac{{{a^2}}}{3})t + c + \frac{{2{a^3} - 9ab}}{{27}} = 0 \end{array}$

Bạn có thấy điều gì đặc biệt không? Vì sao người ta lại đặt $x = t - \frac{a}{3}$ , Dễ dàng nhận ra phương trình bị mất đi ${t^2}$ . Vậy mục đích để làm mất đi $t^2$ để làm gì?

Ta dễ dàng chứng minh được:

${t^3} + {y^3} + {z^3} - 3tyz = (t + y + z)({t^2} + {y^2} + {z^2} - ty - yz - zt)$

Sau đây là các bước tiếp theo của phương pháp.

Ta có 1 vài biến đổi :

${t^3} + (b - \frac{{{a^2}}}{3})t + c + \frac{{2{a^3} - 9ab}}{{27}} = 0(2)$

Đăt:

$\begin{array}{l} {(b - \frac{a}{3})^2} = - 3yz = > - 3tyz = t{(b - \frac{a}{3})^2}\\ c + \frac{{2{a^3} - 9ab}}{{27}} = {y^3} + {z^3} \end{array}$

Khi đó (2) trở thành:

${t^3} + {y^3} + {z^3} - 3tyz = 0$

Như vậy ta đã biến đổi được về dạng chuẩn của đẳng thức trên.

Vì: ${t^3} + {y^3} + {z^3} - 3tyz = (t + y + z)({t^2} + {y^2} + {z^2} - ty - yz - zt)$

Nên:

$\begin{array}{l} (t + y + z)({q^2} + {y^2} + {z^2} - ty - yz - zt) = 0\\ < = > t = - y - z \end{array}$

Ta không giải phương trình:

${t^2} + {y^2} + {z^2} - ty - yz - zt = 0$ ; Bài viết không xét đến phương trình này, vì mục tiêu của bài viết chỉ cần tìm một nghiệm.

Như vậy như ta đã có được mối liên hệ giữa t=-y-z. Vậy để tìm được t thì ta phải tìm y và z.

Chúng ta hãy nhìn lại cách đặt này đã có tổng của:

${y^3} + {z^3} = c + \frac{{2{a^3} - 9ab}}{{27}}$

Và tích:

$yz = \frac{{ - {{(b - \frac{a}{3})}^2}}}{3} < = > {y^3}{z^3} = - \frac{{{{(b - \frac{a}{2})}^6}}}{{27}}$

Đặt:

$S = {y^3} + {z^3};P = {y^3}{z^3}$

Khi đó ta dễ dàng tìm được $y^3;z^3$ là nghiệm của phương trình:

${X^2} - SX + P = 0(S = {y^3} + {z^3};P = {y^3}{z^3})$

Từ đó tìm được $y$ và $z$ .

III. Ví dụ

Giải các phương trình

$\begin{array}{l} a){x^3} - 3{x^2} + 9x + 2 = 0\\ b)2{x^3} + 3{x^2} + 4x + 5 = 0\\ c){x^3} - 5{x^2} + 7x + 9 = 0\\ d){x^3} + 8{x^2} + 5x + 10 = 0\\ e){x^3} - 3{x^2} + 2x + 12 = 0 \end{array}$

Giải:

$\begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + 9x + 2 = 0 - ({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0)\\ a = - 3;b = 9;c = 2\\ Dat:x = t - \frac{a}{3} = t + 1(1)\\ Ta\,co:\,{(t + 1)^3} - 3{(t + 1)^2} + 9(t + 1) + 2 = 0\\ < = > {t^3} + 3{t^2} + 3t + 1 - 3{t^2} - 6t - 3 + 9t + 11 = 0\\ < = > {t^3} + 6t + 9 = 0(*) \end{array}$

Ta đã làm mất đi $t^2$ như phương pháp ở trên vì vậy bước tiếp theo là đi đặt ẩn và ta có cách làm như sau:

$\begin{array}{l} {\rm{Dat}}:{b^3} + {c^3} = 9\\ (*) < = > {t^3} + {b^3} + {c^3} - 3bct = 0\\ < = > (t + b + c)({t^2} + {b^2} + {c^2} - bt - ct - bc) = 0(2)\\ - 3bc = 6 < = > {b^3}{c^3} = - 8 \end{array}$

${b^3};{c^3}$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l} {X^2} - 9X - 8 = 0\\ X = \frac{{9 \pm \sqrt {113} }}{2}\\ = > b = \sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {113} }}{2}}};c = \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {113} }}{2}}}(**)\\ Thay(**)vao(2) < = > t = - \sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {113} }}{2}}} - \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {113} }}{2}}}\\ {t^2} + {b^2} + {c^2} - bt - ct - bc = 0(vn)\\ Theo(1)x = t + 1\\ = > x = - \sqrt[3]{{\frac{{9 - \sqrt {113} }}{2}}} - \sqrt[3]{{\frac{{9 + \sqrt {113} }}{2}}} + 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} 2{x^3} + 3{x^2} + 4x + 5 = 0\\ Dat:x = t - \frac{1}{2}\\ < = > 2{(t - \frac{1}{2})^3} + 3{(t - \frac{1}{2})^2} + 4(t - \frac{1}{2}) + 5 = 0\\ < = > 2{t^3} + \frac{5}{2}t + \frac{7}{2} = 0\\ < = > {t^3} + \frac{5}{4}t + \frac{7}{4} = 0\\ Dat:{a^3} + {b^3} = \frac{7}{4}; - 3ab = \frac{5}{4} < = > {a^3}{b^3} = - {(\frac{5}{{12}})^3} \end{array}$

${a^3};{b^3}$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l} {X^2} - \frac{7}{4}X - {(\frac{5}{{12}})^3} = 0\\ X = \frac{{\frac{7}{4} \pm \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}\\ = > b = \sqrt[3]{{\frac{{\frac{7}{4} + \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}}};c = \sqrt[3]{{\frac{{\frac{7}{4} - \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}}}\\ = > t = - \sqrt[3]{{\frac{{\frac{7}{4} + \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\frac{7}{4} - \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}}}\\ = > x = - \sqrt[3]{{\frac{{\frac{7}{4} + \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}}} - \sqrt[3]{{\frac{{\frac{7}{4} - \sqrt {\frac{{181}}{{54}}} }}{2}}} - \frac{1}{2} \end{array}$

Các ví dụ còn lại bạn đọc tự thực hành nhé!

IV. Cách giải tổng quát phương trình bậc bốn

Cách giải này dựa trên cách giải phương trình bậc ba ở phần I,II.

Mục đích của các bước dưới đây nhằm để tạo ra: ${({A_{(x)}})^2} = {({B_{(x)}})^2}$

$\begin{array}{l} a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0 - (a \ne 0)\\ < = > {x^2}(a{x^2} + bx + \frac{{{b^2}}}{a}) = - c{x^2} + \frac{{{b^2}}}{a}{x^2} - dx - e\\ < = > {x^2}{(\sqrt a x + \frac{b}{{\sqrt a }})^2} + 2x(\sqrt a x + \frac{b}{{\sqrt a }})y + {y^2} = - c{x^2} + \frac{{{b^2}}}{a}{x^2} - dx - e + 2x(\sqrt a x + \frac{b}{{\sqrt a }})y + {y^2}\\ < = > {({x^2}\sqrt a + \frac{b}{{\sqrt a }}x + y)^2} = {x^2}( - c + \frac{{{b^2}}}{a} + 2\sqrt a y) + x( - d + 2\frac{b}{{\sqrt a }}y) + {y^2} - e \end{array}$

Tìm y sao cho ta có thể đưa phương trình về dạng: ${({A_{(x)}})^2} = {({B_{(x)}})^2}$

Với: ${({B_{(x)}})^2} = {x^2}( - c + \frac{{{b^2}}}{a} + 2\sqrt a y) + x( - d + 2\frac{b}{{\sqrt a }}y) + {y^2} - e(*)$

Áp dụng cách giải phương trình bậc ba ở trên ta lập biệt thức $\Delta$ của (*) và giải phương trình $\Delta=0$ ta sẽ tìm được $y$ .

Ví dụ:

$\begin{array}{l} a){x^4} - 4{x^3} + 2{x^2} + 9x - 7 = 0\\ < = > {x^2}({x^2} - 4x) = - 2{x^2} - 9x + 7\\ < = > {x^2}({x^2} - 4x + 4) = 2{x^2} - 9x + 7\\ < = > {x^2}{(x - 2)^2} = 2{x^2} - 9x + 7\\ < = > {x^2}{(x - 2)^2} + 2x(x - 2)y + {y^2} = 2{x^2} - 9x + 7 + 2x(x - 2)y + {y^2}\\ < = > {({x^2} - 2x + y)^2} = 2{x^2}(y + 1) - x(4y + 9) + {y^2} + 7\\ Xet:2{x^2}(y + 1) - x(4y + 9) + {y^2} + 7\\ Ta\,co:\Delta = {(4y + 9)^2} - 8({y^2} + 7)(y + 1) = 0\\ < = > 8{y^3} - 8{y^2} - 16y - 25 = 0 \end{array}$

Phân tiếp theo các bạn tự làm tiếp nhé.

$\begin{array}{l} b)\,{x^4} - 4{x^3} + 7{x^2} - 6x + 3 = 0\\ < = > {x^2}({x^2} - 4x + 4) = - 3{x^2} + 6x - 3\\ < = > {x^2}{(x - 2)^2} + 2x(x - 2)y + {y^2} = - 3{x^2} + 6x - 3 + 2x(x - 2)y + {y^2}\\ < = > {({x^2} - 2x + y)^2} = (2y - 3){x^2} + 2x(3 - 2y) + {y^2} - 3\\ Xet:(2y - 3){x^2} + 2x(3 - 2y) + {y^2} - 3\\ \Delta = (2y - 3){x^2} + 2x(3 - 2y) + {y^2} - 3\\ < = > {(2y - 3)^2} - ({y^2} - 3)(2y - 3)\\ < = > (2y - 3)(2y - 3 - {y^2} + 3) = 0\\ < = > y = \frac{3}{2};y = 0;y = 2\\ Chon:y = 2;(1) < = > {({x^2} - 2x + 2)^2} = {x^2} - 2x + 1\\ < = > {({x^2} - 2x + 2)^2} = {(x - 1)^2}\\ < = > ({x^2} - 3x + 3)({x^2} - x + 1) = 0(VN) \end{array}$

Mục đích của mình giới thiệu ví dụ này là đối với 1 số bạn không biết cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm bằng đạo hàm hay các phương pháp khác thì các bạn cũng có thể sử dụng cách này của mình, từ 1 phương trình bậc 4 ta quy về tích của 2 phương bậc 2, và dễ dàng chứng minh nó vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình:

$3{x^2} - 8x - 3 = 4x\sqrt {x + 1}$

$\begin{array}{l} (4) = > 9{x^4} - 64{x^3} + 30{x^2} + 48x + 9 = 0\\ < = > {x^2}(9{x^2} - 64x + \frac{{1024}}{9}) = \frac{{754}}{9}{x^2} - 48x - 9\\ < = > {x^2}{(3x - \frac{{32}}{3})^2} + 2x(3x - \frac{{32}}{3})y + {y^2} = \frac{{754}}{9}{x^2} - 48x - 9 + 2x(3x - \frac{{32}}{3})y + {y^2}\\ < = > {(3{x^2} - \frac{{32}}{3}x + y)^2} = (\frac{{754}}{9} + 6y){x^2} - 2x(24 + \frac{{32}}{3}y) + {y^2} - 9(5)\\ Xet:(\frac{{754}}{9} + 6y){x^2} - 2x(24 + \frac{{32}}{3}y) + {y^2} - 9\\ \Delta = (\frac{{754}}{9} + 6y){x^2} - 2x(24 + \frac{{32}}{3}y) + {y^2} - 9\\ < = > {(24 + \frac{{32}}{3}y)^2} - ({y^2} - 9)(\frac{{754}}{9} + 6y) = 0\\ < = > y = - 5\\ (5) < = > {(3{x^2} - \frac{{32}}{3}x - 5)^2} = (\frac{{754}}{9} - 30){x^2} - 2x(24 - \frac{{160}}{3}) + 25 - 9\\ < = > {(3{x^2} - \frac{{32}}{3}x - 5)^2} = {(\frac{{22}}{3}x + 4)^2}\\ < = > ({x^2} - 6x - 3)(9{x^2} - 10x - 3) = 0\\ < = > \left[ \begin{array}{l} x = 3 \pm 2\sqrt 3 \\ x = \frac{{5 \pm 2\sqrt {13} }}{9} \end{array} \right. \end{array}$

Vì giải theo phương trình hệ quả nên ta phải thế lại nghiệm và có 2 nghiệm thỏa mãn:

$\begin{array}{l} x = 3 + 2\sqrt 3 \\ x = \frac{{5 - 2\sqrt {13} }}{9} \end{array}$

(Mod Toán tiếp nhận và chỉnh sửa)

Bạn đọc với Hoc247 - Phương pháp tìm một nghiệm đúng của phương trình bậc ba

TIN LIÊN QUAN

TIN XEM NHIỀU