Đề thi TST 2017

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2017

Để xem đầy đủ nội dung đề thi các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để tải  file PDF tài liệu về máy.

Ngày thi thứ nhất (25/03/2017)

Bài 1 (7.0 điểm).Cho 44 cái lỗ phân biệt trên một cái rãnh là đường thẳng và 2017 con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên từ một cái lỗ và bò đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi T là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống các cái lỗ. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và \(\left| T \right| \le 45\) . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến nào đó không gặp nhau. (Quy ước hai con kiến gặp nhau khi và chỉ khi tồn tại một thời điểm mà cả hai ở cùng một vị trí trên rãnh kể cả lúc chui lên và xuống.)

Bài 2 (7.0 điểm). Với mỗi số nguyên dương n, đặt  \({x_n} = C_{2n}^n\)

a) Chứng minh rằng nếu \(\frac{{{{2017}^k}}}{2} < n < {2017^k}\) với k là số nguyên dương nào đó thì \({x_n}\) là bội của 2017

b) Tìm tất cả các số nguyên dương h>1 để tồn tại các số nguyên dương  N,  T sao cho với mọi \(n > N\) thì \({x_n}\) là dãy số tuần hoàn theo modulo h với chu kỳ T

Bài 3 (7.0 điểm). Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi \({I_b},\,\,{I_c}\) lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác ABC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của \({I_b}E,\,\,{I_c}F\) . Giả sử (PAC) cắt AB tại điểm thứ hai R và (QAB) cắt AC tại điểm thứ hai S.

a) Chứng minh rằng PR, QS, AI đồng quy.

b) Giả sử DE, DF lần lượt cắt \({I_b},\,\,{I_c}\) tại K, J. EJ cắt FK tại M và PE, QF cắt (PAC), (QAB) lần lượt tại các điểm thứ hai X, Y. Chứng minh rằng ba đường thẳng BY, CX, AM đồng quy

Trên đây chỉ trích lục một phần của Đề thi TST 2017.

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi