Đề Thi TST 2012

      ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2012

Bài 1: Trên mặt phẳng cho đường tròn (O) và hai điểm cố định B, C trên đường tròn này sao cho BC không là đường kính của (O). Gọi A là một điểm di động trên đường tròn (O) và A không trùng với hai điểm B, C. Gọi D, K, J lần luwotj là trung điểm của bC, CA, AB và E, M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên BC, DJ, DK.
Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M, N của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn cắt nhau tại điểm T cố định khi điểm A thay đổi trên (O).
Bài 2: Trên một cánh đồng hình chữ nhật kính thước   ô vuông gồm m hàng và n cột, người ta đặt một số máy bơm nươc vào các ô vuông. Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước không những cho ô vuông chứa nó và các ô vuông có chung cạnh với ô vuông đó mà còn có thể tưới cho các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông. Tìm số nhỏ nhất các máy bơm nước cần đặt để các máy bơm đó có thể tưới hết cả cánh đồng trong hai trường hợp
1) m = 4
2) m = 3
Bài 3: Cho số nguyên tố \(p \ge 17\) . Chứng minh rằng t =3 là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện : Với các số nguyên bất kì a, b, c, d sao cho abc không chia hết cho p và a + b + c chia  hết cho p thì tồn tại các số nguyên x,y,z thuộc tập \(\left\{ {0,1,...,\left[ {\frac{p}{t}} \right] - 1} \right\}\)   sao cho  \({\rm{ax}} + by + cz\)chia hết cho p.

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy