Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0989 627 405

Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2016

09/10/2017 10:22   8     5
Tóm tắt nội dung
Tải về

Dưới đây là Đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2016, đề thi gồm 6 câu tự luận thời gian làm bài là 4 giờ 30 phút. Đề thi giúp các em rèn luyện và củng cố kiến thức. Các em cùng tham khảo nhé. Chúc các em học tốt. 

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy


_______________________________________________________________________________________________Thứ Hai, ngày 11 tháng Bảy 2016

 

Bài 1. Cho tam giác BCF vuông tại B. Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng CF sao chp FA = FB và F nằm giữa A và C. Lấy điểm D sao cho DA = DC và AC là phân giác của \(\angle DAB\) . Lấy điểm E sao cho EA = ED và AD là phân giác của \(\angle EAC\). Gọi M là trung điểm của CF. Gọi X là điểm sao cho AMXE là hình bình hành ( AM || EX và AE || MX). Chứng minh rằng các đường thăng BD, FX và ME đồng qui.

Bài 2. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n để có thể điền vào mỗi ô vuông con của bảng ô vuông \(n \times n\)một chữ cái I, M hoặc O sao cho:

* Ở mỗi hàng và ở mỗi cột, có đúng một phần ba số ô được điền chữ I, đúng một phần ba số ô được điền chữ M và đúng một phần ba số ô được điền chữ O; đồng thời

* Ở mỗi đường chéo mà số ô vuông con nằm trên đường chéo đó là một bội của 3, có đúng một phần ba số ô được điền chữ I, đúng một phần ba số ô được điền chữ M và đúng một phần ba số ô được điền chữ O.

Chú ý: Giả sử tất cả các hàng, cũng như tất cả các cột, của bảng ô vuông \(n \times n\) được đánh số thứ tự lần lượt bởi các số nguyên từ 1 đến n. Khi đó, mỗi ô vuông con của bảng tương ứng với một cặp số nguyên dương (i,j), trong đó \( 1 \le i,j \le n\). Với n>1, bảng có 4n-2 đường chéo, được chia thành hai loại. Mỗi đường chéo loại 1 là một đường gồm tất cả các ô (i,j) mà i+j là hằng số; mỗi đường chéo loại 2 là một đường chéo gồm tất cả cá ô (i,j) mà i-j là hằng số.

Bài 3.Cho \(P = {A_1}{A_2}........{A_k}\)là một đa giác lồi trong mặt phẳng tọa độ. Tất cả cá đỉnh \({A_1},{A_2},........,{A_k}\)đều có tọa độ nguyên và cùng nằm trên một đường tròn. Kí hiệu S là diện tích của P. Cho n là một số nguyên dương lẻ mà bình phương độ dài mỗi cạnh của P là một số nguyên chia hết cho n. Chứng minh rằng 2S là một số nguyên chia hết cho n.

Language: Vietnamese                                                                                                     Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}

Chúc các em học tốt

 


TÀI LIỆU LIÊN QUAN

TÀI LIỆU XEM NHIỀU