Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2013

Thứ Ba, 23 tháng Bảy, 2013

Bài 1: Chứng minh rằng với hai số nguyên dương k và n tùy ý, luôn tồn tại k số nguyên dương \({m_1},{m_2},.....,{m_k}\)(không nhất thiết đôi một khác nhau) sao cho

\(1 + \frac{{{2^k} - 1}}{n} = \left( {1 + \frac{1}{{{m_1}}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{m_2}}}} \right)......\left( {1 + \frac{1}{{{m_k}}}} \right)\)

Bài 2. Một tập hợp gồm đúng 4027 điểm trên mặt phẳng được gọi là tập Colombia nếu không có ba điểm nào trong các điểm đó thẳng hàng, đồng thời có 2013 điểm được tô màu  đỏ và 2014 điểm còn lại được tô màu xanh. Mặt phẳng được phân chia thành các miền khi ta kẻ một số đường thẳng. Một cách kẻ một số đường tahwrng được gọi là cách kẻ tốt đối với tập Colombia cho trước nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

          1. Không đường thẳng nào đi qua dù chỉ có một điểm thuộc tập hợp đó;

          2. Không miền nào chứa các điểm màu đỏ  và điểm màu xanh.

Tìm số k nhỏ nhất sao cho với tập Colombia tùy ý gồm đúng 4027 điểm tồn tại một cách kẻ k đường thẳng là cách kẻ tốt nhất 

Bài 3. Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC tại điểm \({A_1}\).Điểm \({B_1}\) trên CA và điểm \({C_1}\) trên AB được định nghĩa một cách tương tự, bằng cách xét đường tròn bàng tiếp góc B và góc C, tương ứng. Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

Đường tròn bàng tiếp góc A cảu tam giác ABC là đường tròn tiếp xúc với đoạn thẳng BC, phần kéo dài về phía B của cạnh AB và phần kéo dài về phía C của cạnh AC. Các đường tròn bàng tiếp góc B và góc C được định nghĩa mọt cách tương tự

Language: Vietnamese                                                                                                      Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy