Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0973 686 401

Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2011

11/10/2017 15:39   5     3
Tóm tắt nội dung
Tải về

Dưới đây là đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2011, đề thi gồm 6 câu tự luận. Đề thi giúp các em rèn luyện và củng cố và nâng cao kiến thức. Các em cùng tham khảo nhé. Chúc các em học tốt.

Thứ 2, 18 tháng 7, 2011

Bài 1. Cho tập hợp \(A = \left\{ {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}} \right\}\)gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu tổng \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\) bởi \({s_A}\). Giả sử \({n_A}\) là số các cặp \(\left( {i,j} \right)\) với \(1 \le i < j \le 4\) sao cho \({a_i} + {a_j}\) chia hết cho \({s_A}\).Tìm  tất cả các tập hợp A gồm bốn số nguyên dương phân biệt mà với chúng \({n_A}\) đạt được giá trị  lớn nhất có thể.

Bài 2. Giả sử S là một tập hữu hạn điểm trên mặt phẳng với ít nhất hai điểm. Giả thiết rằng không có ba điểm nào của S cùng nằm trên một đường thẳng. Cối xay gió là một quá trình bắt đầu với một đường thẳng \(l\) đi qua một điểm \(P \in S\). Đường thẳng này quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh tâm P cho đến khi lần đầu tiên gặp một điểm khác nào đó của S. Điểm này, kí hiệu Q, lại được lấy làm tâm mới và bây giờ đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh Q, cho đến khi gặp tiếp điểm tiếp theo của S. Quá trình được tiếp tục không dừng, với tâm luôn luôn là một điểm của S.

Chứng minh rằng ta có thể chọn điểm \(P \in S\) và đường thẳng \(l\) đi qua P sao cho cối xay gió nhận mỗi điểm cúa S  làm tâm quay vô hạn lần.

Bài 3. Giả sử \(f:R \to R\) là một hàm giá trị thực xác định trên tập các số thực và thỏa mãn

\(f\left( {x + y} \right) \le yf\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)\)

với mọi số thực \(x\) và \(y\).Chứng minh rằng \(f\left( x \right) = 0\,\)với mọi \(x \le 0\)

Language: Vietnamese                                                                             Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy

 

 

 


TÀI LIỆU LIÊN QUAN

TÀI LIỆU XEM NHIỀU