Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2011
11/10/2017 15:39 5 3Dưới đây là đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2011, đề thi gồm 6 câu tự luận. Đề thi giúp các em rèn luyện và củng cố và nâng cao kiến thức. Các em cùng tham khảo nhé. Chúc các em học tốt.
Thứ 2, 18 tháng 7, 2011
Bài 1. Cho tập hợp \(A = \left\{ {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4}} \right\}\)gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu tổng \({a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\) bởi \({s_A}\). Giả sử \({n_A}\) là số các cặp \(\left( {i,j} \right)\) với \(1 \le i < j \le 4\) sao cho \({a_i} + {a_j}\) chia hết cho \({s_A}\).Tìm tất cả các tập hợp A gồm bốn số nguyên dương phân biệt mà với chúng \({n_A}\) đạt được giá trị lớn nhất có thể.
Bài 2. Giả sử S là một tập hữu hạn điểm trên mặt phẳng với ít nhất hai điểm. Giả thiết rằng không có ba điểm nào của S cùng nằm trên một đường thẳng. Cối xay gió là một quá trình bắt đầu với một đường thẳng \(l\) đi qua một điểm \(P \in S\). Đường thẳng này quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh tâm P cho đến khi lần đầu tiên gặp một điểm khác nào đó của S. Điểm này, kí hiệu Q, lại được lấy làm tâm mới và bây giờ đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ chung quanh Q, cho đến khi gặp tiếp điểm tiếp theo của S. Quá trình được tiếp tục không dừng, với tâm luôn luôn là một điểm của S.
Chứng minh rằng ta có thể chọn điểm \(P \in S\) và đường thẳng \(l\) đi qua P sao cho cối xay gió nhận mỗi điểm cúa S làm tâm quay vô hạn lần.
Bài 3. Giả sử \(f:R \to R\) là một hàm giá trị thực xác định trên tập các số thực và thỏa mãn
\(f\left( {x + y} \right) \le yf\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)\)
với mọi số thực \(x\) và \(y\).Chứng minh rằng \(f\left( x \right) = 0\,\)với mọi \(x \le 0\)
Language: Vietnamese Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút
Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm
Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để tải file PDF tài liệu về máy