Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2009

Thứ 4, 15 tháng 7, 2009

Bài 1. Giả sử n là một số nguyên dương và giả sử \({a_1},......,{a_k}\left( {k \ge 2} \right)\) là những số nguyên khác nhau từng cặp thuộc tập hợp \(\left\{ {1,.....,n} \right\}\) sao cho \({a_i}\left( {{a_{i + 1}} - 1} \right)\) chia hết cho n với mọi \(i = 1,.....,k - 1\). Chứng minh rằng \({a_k}\left( {{a_1} - 1} \right)\) không chia hết cho n.

Bài 2. Giả sử ABC là tam giác với O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Các điểm P và Q là những điểm trong của các cạnh CA và AB, tương ứng. Giả sử K, L và M là các điểm giữa BP, CQ và PQ, tương ứng. \(\Gamma \) là đường tròn đi qua K, L và M. Giả thiết rằng đường thẳng PQ tiếp xúc với đường tròn \(\Gamma \). Chứng minh rằng OP = OQ

Bài 3: Gải sử \({s_1},{s_2},{s_3},......\).. là dãy tăng thực sự các số nguyên dương sao cho các dãy con

\({s_{s1}},{s_{s2}},{s_{s3}}.....\)  và \({s_{s1 + 1}},{s_{s2 + 1}},{s_{s3 + 1}},.....\)

đều là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy \({s_1},{s_2},{s_3},......\) cũng là cấp số cộng.

Language: Vietnamese                                                                                         Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                                            Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy