Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2008

Thứ 4,16/7/2008

Bài 1. Tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Đường tròn đi qua H với tâm tại điểm giữa của BC giao với đường BC tại \({A_1}\) và \({A_2}\). Tương tự đường tròn đi qua H với tâm tại điểm giữa của CA giao với đường CA tại \({B_1}\) và \({B_2}\), đường tròn qua H với tâm tại điểm giữa AB giao với đường AB tại \({C_1}\)và \({C_2}\). Chứng minh rằng \({A_1},{A_2},{B_1},{B_2},{C_1},{C_2}\) cùng nằm trên một đường tròn

Bài 2. (a) Chứng minh rằng

\(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}}} \ge 1\)

với mọi số thực \(x,y,z\), mỗi số đều khác 1, và thỏa mãn \(xyz = 1\)

(b) Chứng minh rằng đẳng thức xảy ra đối với một số vô hạn bộ ba các số hữu tỉ \(x,y,z\), mỗi số đều khác 1, và thảo mãn \(xyz = 1\)

Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho \({n^2} + 1\) có ước nguyên tố lớn hơn \(2n + \sqrt {2n} \).

Language: Vietnamese                                                                                   Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

                                                                                           Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm

Để xem đầy đủ nội dung tài liệu các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập để  tải file PDF tài liệu về máy