Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0973 686 401

Đề thi Olympic Toán quốc tế IMO 2007

12/10/2017 08:34   6     4
Tóm tắt nội dung
Tải về

Dưới đây là đề thi Olympic Toán quốc tế năm 2007, đề thi gồm 6 câu tự luận. Đề thi giúp các em rèn luyện và củng cố và nâng cao kiến thức. Các em cùng tham khảo nhé. Chúc các em học tốt.

Vietnamese version                                                                                                              Bản Tiếng Việt

Ngày thứ nhất

25 tháng 7 năm 2007

Bài 1. Cho trước các số thực \({a_1},{a_2},.....,{a_n}\) Với mỗi i \(\left( {1 \le i \le n} \right)\) đặt

\({d_i} = \max \left\{ {{a_j}:1 \le j \le i} \right\} - \min \left\{ {{a_j}:i \le j \le n} \right\}\)

và đặt

 \(d = \max \left\{ {{d_i}:1 \le i \le n} \right\}\)

   a) Chứng minh rằng, với các số thực \({x_1} \le {x_2} \le ....... \le {x_n}\) tùy ý, ta có

\(\max \left\{ {|{x_i} - {a_i}|:1 \le i \le n} \right\} \ge \frac{d}{2}\) (*)

   b) Hãy chỉ ra rằng tồn tại các số thực \({x_1} \le {x_2} \le ....... \le {x_n}\) sao cho bất cứ đẳng thức (*) trở thành đẳng thức.

Bài 2. Xét năm điểm A, B, C, D và E sao cho ABCD là một hình bình hành và BCED là một tứ giác nội tiếp. Cho \(l\) là một đường thẳng đi qua A. Giả sử rằng \(l\) cắt miền trong của đoạn thẳng DC tại F và cắt đường thẳng BC tại G. Cùng giả sử rằng EF = EG = EC. Chứng minh rằng \(l\) là phân giác của góc \(\angle DAB\)

Bài 3. Trong một kỳ thi học sinh giỏi toán có một số thí sinh là bạn bè của nhau. Quan hệ bạn bè luôn là quan hệ hai chiều. Gọi một nhóm các thí sinh là nhóm bạn bè nếu  như hai người bất kỳ trong nhóm này là bạn bè của nhau. (Một nhóm tùy ý ít hơn hai thí sinh cũng vẫn được coi là một nhóm bạn bè). Số lượng các thí sinh của một nhóm bạn bè được gọi là cỡ của nó.

Cho biết rằng, trong kỳ thi này, cỡ của một nhóm bạn bè có nhiều người nhất là một số chẵn. Chứng minh rằng có thể xếp tất cả các thí sinh vào hai phòng sao cho cỡ của nhóm bạn bè có nhiều người nhất trong phòng này cũng bằng cỡ của nhóm bạn bè có nhiều người nhất trong phòng kia.

                                                                                                                        Thời gian làm bài : 4 giờ 30 phút

Mỗi bài đươc 7 điểm

 


TÀI LIỆU LIÊN QUAN

TÀI LIỆU XEM NHIỀU