Câu 1:

Cho các vectơ \(\vec a = (1;2;3);\,\,\vec b = ( - 2;4;1);\,\,\vec c = ( - 1;3;4)\) . Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c\)

• A. \(\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)\)
• B. \(\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)\)
• C. \(\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)\)
• D. \(\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\)

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j\) Tìm tọa độ điểm A. 

• A. \(A\left( {3, - 2,5} \right)\)
• B. \(A\left( { - 3, - 17,2} \right)\)
• C. \(A\left( {3,17, - 2} \right)\)
• D. \(A\left( {3,5, - 2} \right)\)

Câu 3:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm \(A\left( { - 2,1,0} \right);B\left( { - 3,0,4} \right);C\left( {0,7,3} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\).

• A. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{14}}{{3\sqrt {118} }}\)
• B. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{{7\sqrt 2 }}{{3\sqrt {59} }}\)
• C. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {57} }}\)
• D. \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {57} }}\)

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = (1;2;3)\)

• A. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 2t\\ z = 3t \end{array} \right.\)
• B. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 2\\ z = 3 \end{array} \right.\)
• C. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 3t\\ z = 2t \end{array} \right.\)
• D. \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - t\\ y = - 2t\\ z = - 3t \end{array} \right.\)

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 1,1,0} \right);\overrightarrow b = (1,1,0);\overrightarrow c = \left( {1,1,1} \right)\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

• A. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow 0\)
• B. \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) đồng phẳng.
• C. \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
• D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\)

Câu 6:

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và đi qua A(1;0;4).

• A. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53\)
• B. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53\)
• C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53\)
• D. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53\)

Câu 7:

Cho hai đường thẳng \({d_1}:{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + 3t\\ z = 3 + 4t \end{array} \right.\) và \({d_2}:{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 4t'\\ y = 5 + 6t'\\ z = 7 + 8t' \end{array} \right.\) 

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

• A. \({d_1} \bot {d_2}\)
• B. \({d_1} \equiv {d_2}\)
• C. \({d_1}//{d_2}\)
• D. \({d_1}{\rm{ ; }}{d_2}\) chéo nhau.

Câu 8:

Cho 3 điểm A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

• A. \(14{\rm{x}} + 13y + 9{\rm{z + }}110 = 0\)
• B. \(14{\rm{x}} + 13y - 9{\rm{z}} - 110 = 0\)
• C. \(14{\rm{x - }}13y + 9{\rm{z}} - 110 = 0\)
• D. \(14{\rm{x}} + 13y + 9{\rm{z}} - 110 = 0\)

Câu 9:

Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M (0; 0; -1) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a = (1; - 2;3){\rm{ ; }}\overrightarrow b = (3;0;5)\) . Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\).

• A. 5x-2y-3z-21=0
• B. -5x+2y+3z+3=0
• C. 10x-4y-6z+21=0
• D. 5x-2y-3z+21=0

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{4};{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\)

• A. \(\overrightarrow n = ( - 5;6; - 7)\)
• B. \(\overrightarrow n = (5; - 6;7)\)
• C. \(\overrightarrow n = ( - 5; - 6;-7)\)
• D. \(\overrightarrow n = ( - 5; 6;7)\)

Câu 11:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0. Viết phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

• A. \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\)
• B. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{1}\)
• C. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\)
• D. \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B(5; 1; 3), C(4; 0; 6), D(5; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC).

• A. \({(x + 5)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)
• B. \({(x - 5)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)
• C. \({(x + 5)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)
• D. \({(x - 5)^2} + {y^2} + {(z - 4)^2} = \frac{8}{{223}}\)

Câu 13:

Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng \(d\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 4t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\).Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d.

• A. H(2;-3;-1)
• B. H(2;3;1)
• C. H(2;-3;1)
• D. H(-2;3;1)

Câu 14:

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + z + 6 = 0\) và điểm \(A\left( {2, - 1,0} \right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

• A. H(1;-1;1)
• B. H(-1;1;-1)
• C. H(3;-2;1)
• D. H(5;-3;1)

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {1,0,0} \right);\,B\left( {0,1,0} \right);C\left( {0,0,1} \right);D\left( {1,1,1} \right)\). Xác định tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

• A. \(G\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\)
• B. \(G\left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right)\)
• C. \(G\left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)\)
• D. \(G\left( {\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}} \right)\)

Câu 16:

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ \,y = - 1\\ \,z = - t \end{array} \right.\) và 2 mp (P): \(x + 2y + 2z + 3 = 0\) và (Q): \(x + 2y + 2z + 7 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

• A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
• B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
• C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
• D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\)

Câu 17:

Trong mặt phẳng Oxyz cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D-5;-4;-8). Tính độ dài đường cao h kẻ từ D của tứ diện.

• A. \(\frac{5}{7}\)
• B. \(h = \frac{{45}}{7}\)
• C. \(h = \frac{{45}}{{21}}\)
• D. \(h = \frac{{15}}{7}\)

Câu 18:

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - 2y + 3z + 1 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 6z = 0\). Mệnh đề nào sau đây là một mệnh đề sai?

• A. \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn.
• B.  \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\).
• C.  \(\left( \alpha \right)\) có điểm chung với \(\left( S \right)\).
• D.  \(\left( \alpha \right)\) đi qua tâm của \(\left( S \right)\).

Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) sao cho MA² + MB² nhỏ nhất là:

• A. M(-1;1;5)
• B. M(1;-1;3)
• C. M(2;1;-5)
• D. M(-1;3;2)

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1;-1)  vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

• A.
• B.
• C.
• D.
• . \((Q):2x + y - 2z - 9 = 0\) hoặc \((Q):4x - 7y - 4z - 9 = 0.\)
• . \((Q):2x - 4y + 2z = 0\) hoặc \((Q):x + y - 4z - 8 = 0.\)
• . \((Q):2x - y - 2z - 9 = 0\) hoặc \((Q):4x - 7y + 4z - 9 = 0.\)
• . \((Q):2x + y + 2z - 5 = 0\) hoặc \((Q):4x + 7y - 4z - 23 = 0.\)