Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2016 môn Toán lần 3 - THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Thời gian làm bài: 180 phút Số lượng câu hỏi: 10 câu Số lần thi: 150

 

  • Câu 1:

     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=x^3-3x^2+2

    • Tập xác định: D = R
      Ta có y'= x^2- x; y '=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=2 \end{matrix}
      - Hàm số đồng biến trên các khoảng (-\infty ;0) và (2;+\infty ); nghịch biến trên khoảng (0; ).
      - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD= 2 ; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =
      - Giới hạn: \lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty , \lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty
      Bảng biến thiên:

      Đồ thị 

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.

      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc.

      = = = = = = = =

  • Câu 2:

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x)=\frac{2x+1}{x-1} trên đoạn [3;5]

    • Hàm số xác định và liên tục trên D= [;]
      Ta có f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}< 0,\forall x\in [3;5]

      Do đó hàm số này nghịch biến trên đoạn [;]
      Suy ra
       \underset{x\in [3;5]}{max}f(x)=f()=
      \underset{x\in [3;5]}{min}f(x)= f()=

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 3:

    a. Cho \alpha \left ( \frac{\pi}{2}; \pi \right ) và sin\alpha =\frac{1}{3}. Tính giá trị biểu thức P=sin2\alpha -cos2\alpha
    b. Giải phương trình: sin2x+2sin^2x=sinx+cosx

    • a.
      Vì \alpha \in \left ( \frac{\pi}{2};\pi \right ) nên cos\alpha < , suy ra cos=-\sqrt{1-sin^\alpha }=-\frac{2\sqrt{2}}{3}
      Do đó P=sin 2\alpha - cos 2\alpha = 2sin \alpha cos\alpha - 1 +sin ^2\alpha
      \Rightarrow P=2..\left ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right )-1+.\left (\frac{1}{3} \right )^2=-\frac{7+4\sqrt{2}}{9}
      b.
      Phương trình đã cho \Leftrightarrowsinx (sinx+ cosx)= sinx+ cos x
      \Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx+cosx=0 \ \ (1)\\ 2sinx=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{matrix}
      (1)\Leftrightarrow tanx=\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, (k\in Z)
      (2)\Leftrightarrow sinx= \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\vee x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi với k\in Z
      Vậy phương trình có ba họ nghiệm x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, x=\frac{\pi}{6}+k\pi, x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi với k\in Z
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 4:

    Tính tích phân sau: I=\int_{0}^{4}2x\left [ 2x^2+ln(x^2+9) \right ]dx

    • I=\int_{0}^{4}x^3dx+\int_{0}^{4}2xln(x^2+9)dx=I_1+I_2
      I_1=\int_{0}^{4}x^3dx=x^4 |^4_0= 
      I_2=\int_{0}^{4}2xln(x^2+9) |^4_0-\int_{0}^{4}2xdx=(x^2+9)ln(x^2+9)|^4_0-x^2|^4_0
      \Rightarrow I_2=ln25-9ln9-16=50ln5-18ln3- 
      Vậy I=I_1+I_2=+50ln5-ln3
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 5:

    a. Giải bất phương trình: log_2(3x-2)-log_2(6-5x)> 0
    b. Cho tập hợp E= {1;2;3; 4;5;6} và M là tập hợp tất cả các số gồm hai chữ số phân biệt lập từ E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng hai chữ số của số đó lớn hơn 7.

    • a.
      Bất phương trình đã cho \Leftrightarrow log_2(3x-2)> log_2(6-5x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-2>0\\ 6-5x>0\\ 3x-2>6-5x \end{matrix}\right.
      \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>\frac{2}{3}\\ x< \frac{6}{5}\\ x> 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow< x< 
      Vậy nghiệm của bất phương trình là: < x< 
      b.
      + Số phần tử của tập M là A_{6}^{2}=
      + Các số có tổng hai chữ số lớn hơn 7 gồm: 26, 62, 35, 53, 36, 63, 45, 54, 46, 64, 56, 65. Có số
      Suy ra xác suất cần tìm là p==

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.

      = = = = = = = =

  • Câu 6:

    Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho các điểm M (1; 2;0), N(3;4;2) và mặt phẳng (P):2x+2y+z-7=0. Viết phương trình đường thẳng MN và tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).

    • Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương \overrightarrow{MN}=(-4;;2) hay \vec{u}=( ;3;1)
      Phương trình đường thẳng MN: \frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{1} (có thể viết dưới dạng pt tham số)
      Trung điểm của đoạn thẳng MN là I(;1;)
      Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:
                                            

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 7:

     Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC).


    • Ta có CI=\sqrt{AC^2-AI^2}= a\sqrt{3}
      Do đó AH=\sqrt{AI^2+IH^2}=\frac{a\sqrt{7}}{4}, suy ra SH=AH.tan60^0= a\sqrt{21}
      Vậy V_{S.ABC}= .SH.S_{ABC}=a^3\sqrt{7}
      Gọi A', H', I' lần lượt là hình chiếu của A, H, I trên BC; E là hình chiếu của H trên SH' thì HE\perp (SBC)\Rightarrow d(H;(SBC))=HE. Ta có HH'= .II'= AA'=\frac{a\sqrt{3}}{8}
      Từ \frac{1}{HE^2}=\frac{1}{HS^2}+\frac{1}{HH'^2}, suy ra 
      Vậy 

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 8:

    Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d_1:3x-4y-8=0,d_2=4x+3y-19=0. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2, đồng thời cắt đường thẳng \Delta :2x-y-2=0 tại hai điểm A B, sao cho AB = 2\sqrt{5}.

    • Gọi I (a: b) là tọa độ tâm và R là bán kính đường tròn (C).

      Do đường thẳng \large \Delta cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 2\sqrt{5} nên ta có
      d(I,\Delta )=\sqrt{R^2-5}\Leftrightarrow \frac{\left | 2a-b-2 \right |}{\sqrt{5}}= \sqrt{R^2-5} \ \ (*)

      Đường tròn (C) tiếp xúc với d1, d2 khi: \left\{\begin{matrix} d(I,d_1)=R\\ d(I,d_2)=R \end{matrix}\right.
      \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\left | 3a-4b-8 \right |}{5}=R\\ \\ \frac{\left | 4a+3b-19 \right |}{5}=R \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\left | 3a-4b-8 \right |}{5}=R\\ \\ 4a+3b-19=\pm (3a-4b-8) \end{matrix}\right.

      \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} b=7a-27\\ R=\left | 5a-20 \right | \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=-7b+11\\ R=\left | 5b-5 \right | \end{matrix}\right. \end{matrix}
      + Với \left\{\begin{matrix} b=7a-27\\ R=\left | 5a-20 \right | \end{matrix}\right.\\ thay vào (*) ta được \sqrt{5}\big | a-\big |=\sqrt{(5a-20)^2-5}\Leftrightarrow a=\vee a=\frac{9}{2}
      Vậy phương trình đường tròn là (C):(x-3)^2+(y+6)^2=25 hoặc (C):(x-\frac{9}{2})^2+(y-\frac{9}{2})^2= 
      + Với \left\{\begin{matrix} a=-7b+11\\ R=\left | 5b-5 \right | \end{matrix}\right.thay vào (*) ta được \sqrt{5}\big | 3b-\big|=\sqrt{(5b-5)^2-5}\Leftrightarrow b=2\vee b= 

      Vậy phương trình đường tròn là (C):(x+3)^2+(y-2)^2=   hoặc (C):(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2= 

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 9:

    Giải bất phương trình: \frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)}\geq \frac{1}{2}

    • Điều kiện : x\geq 
      Ta có \sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)=\frac{2(x^2-2x+4)}{\sqrt{6(x^2+2x+4)}+2(x+2)}>0,\forall x\geq 

      Do đó bất phương trình \Leftrightarrow 2(\sqrt{x+2}-2)\geq \sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)
                                         \Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}-2x\geq \sqrt{12(x+2x)+6x^2}   (1)

      Nhận xét x = không là nghiệm của bất phương trình

      Khi x > -2 chia hai vế bất phương trinh (1) cho \sqrt{x+2}> 0 ta được 
      +2.\frac{x}{\sqrt{x+2}}\geq \sqrt{12+6.\left ( \frac{x}{\sqrt{x+2}} \right )} (2)
      Đặt t= \frac{x}{\sqrt{x+2}} thì bất phương trình (2) được
      +2t\geq \sqrt{12+6t^2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2+2t\geq 0\\ 4+8t+4t^2\geq 12+6t^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t\geq -1\\ 2 (t-2)^2\leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow t= 
      t=2\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x+2}}=2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x^2-4x-8=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=+2\sqrt{3}
      Bất phương trình có nghiệm duy nhất x=2+\sqrt{3}

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =

  • Câu 10:

    Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2016 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    P=\sqrt{5x^2+xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+xy+5y^2}+\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}

    • P=A+B. Trong đó 

      A=\sqrt{5x^2+xy+3y^2}+\sqrt{3x^2+xy+5y^2} và

      B=\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}
      A=\sqrt{180x^2+36xxy+108y^2}+\sqrt{108x^2+36xy+180y^2}
      =\sqrt{(11x+7y)^2+59(x-y)^2}+\sqrt{(11y+7x)^2+59(y-x)^2}
      \geq (11x+7y)+(11y+7x)=(x+y)
      \Rightarrow A\geq 3(x+y)=3.2016=   (*) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1008
      4B=\sqrt{16x^2+16xy+32y^2}+\sqrt{32x^2+16xy+16y^2}
      =\sqrt{(3x+5y)^2+7(x-y)^2}+\sqrt{(3y+5x)^2+7(y-x)^2}
      \geq (3x+5y)+(3y+5x)=(x+y)
      \Rightarrow B\geq 2(x+y)=2.2016=  (**) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 
      Từ (*) và (**) ta đươc P=A+B\geq 6048+4032= , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khỉ x = y = 1008 

      Vậy P_{min}=10080\Leftrightarrow x=y= 
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      = = = = = = = =