Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 môn Toán

YOMEDIA

Câu hỏi trắc nghiệm (9 câu):

Câu 1:

Cho hàm số $y=x^3-3x^2$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 2015
- a)
  Tập xác định: D = R
  Chiều biến thiên: $y'> 0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<0\\ x>2 \end{matrix}$ và $y'< 0\Leftrightarrow 0< x<$
  + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty )$
  + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
  Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ= y(0)=
  + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT=
  Giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=$
  Bảng biến thiên
  
  Đồ thị (C)
  
  b)
  Tiếp tuyến song song với d nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng . Gọi M₀(x₀;y₀) là toạ độ tiếp điểm. Khi đó $x_{0}^{2}-$ $x_{0}=$
  Tìm được $\bigg \lbrack \begin{matrix} x_0=-1\\ x_0=3 \end{matrix}\Rightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} y_0=-4\\ y_0=0 \end{matrix}$
  Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là y = x - ; y = +
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  Ghi chú. Dấu $\small +\infty$ được ghi là +vc; dấu $\small -\infty$ được ghi là −vc.
  = = = = = = = = = = = = = = = =
Lời giải:
a)
Tập xác định: D = R
Chiều biến thiên: $y'> 0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<0\\ x>2 \end{matrix}$ và $y'< 0\Leftrightarrow 0< x< 2$
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty )$
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ= y(0)=0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT=-4
Giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty$
Bảng biến thiên

Đồ thị (C)
b)
Tiếp tuyến song song với d nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9. Gọi M₀(x₀;y₀) là toạ độ tiếp điểm. Khi đó $3x_{0}^{2}-6x_{0}=9$
Tìm được $\bigg \lbrack \begin{matrix} x_0=-1\\ x_0=3 \end{matrix}\Rightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} y_0=-4\\ y_0=0 \end{matrix}$
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến là $y=9x-27,\ \ y= 9x+5$
Câu 2:

a) Giải phương trình $\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})sin2x+sin^2x-\sqrt{3}cos^2x+sinx+cosx=0$
b) Giải phương trình $log(2x-1)+log(x-9)=2$
- a) $(sinx+cosx)\left (sinx-\sqrt{3}cosx+$ $\right )=0$
  $tanx=$ $, sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )= sin\left ( -\frac{\pi }{6} \right )$
  $\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k$ $\pi,x=\frac{\pi }{6}+k2\pi, x=\frac{3\pi }{2}+k$ $\pi$
  b)
  Điều kiện x > . Phương trình đã cho tương đương $(x-9)(2x-1)=$
  $\Leftrightarrow 2x^2-19x-91=0\Leftrightarrow x=$ $,x=-\frac{7}{2}$ . Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x = .
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:
a) $(sinx+cosx)\left (sinx-\sqrt{3}cosx+1 \right )=0$
$tanx=-1, sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )= sin\left ( -\frac{\pi }{6} \right )$
$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi,x=\frac{\pi }{6}+k2\pi, x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$
b)
Điều kiện x > 9 . Phương trình đã cho tương đương $(x-9)(2x-1)=100$
$\Leftrightarrow 2x^2-19x-91=0\Leftrightarrow x=13,x=-\frac{7}{2}$ . Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x = 13.
Câu 3:

Tính tích phân $I=\int_{0}^{2}\left ( e^x -\frac{x}{\sqrt{x^3+1}}\right )xdx$
- $I=$ $\int_{0}^{2}xe^xdx-\int_{0}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}dx=I_1-I_2$
  $I_1=$ $\int_{0}^{2}xe^xdx=x.e^x |_{0}^{2}-\int_{0}^{2}e^xdx=e^2+$
  Tính I₂: Đặt $u=\sqrt{x^3+1}\Rightarrow u^2=x^3+$ . Khi đó $x^2dx=\frac{2u}{3}du$
  Với x = 0 $\Rightarrow u=1; x=2\Rightarrow u=$ . Khi đó $I_2=$ $\int_{1}^{3}du=\frac{2}{3}u |_{1}^{3}=$
  Vậy $I=e^2-$
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:
$I=\int_{0}^{2}xe^xdx-\int_{0}^{2}\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}}dx=I_1-I_2$
$I_1=\int_{0}^{2}xe^xdx=x.e^x |_{0}^{2}-\int_{0}^{2}e^xdx=e^2+1$
Tính I₂: Đặt $u=\sqrt{x^3+1}\Rightarrow u^2=x^3+1$. Khi đó $x^2dx=\frac{2u}{3}du$
Với x = 0 $\Rightarrow u=1; x=2\Rightarrow u=3$. Khi đó $I_2=\frac{2}{3}\int_{1}^{3}du=\frac{2}{3}u |_{1}^{3}=\frac{4}{3}$
Vậy $I=e^2-\frac{1}{3}$
Câu 4:

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\bar{z}+(2-i)z=5-7i$ . Tìm môđun của số phức z
b) Một hộp chứa 6 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 4 viên bi vàng. Muốn lấy ra 4 viên bi. Tính xác suất của biến cố sao cho số bi lấy ra đúng hai màu.
- a)
  Gọi $\small z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi, \ (a,b\in \mathbb{R})$ . Đẳng thức đã cho tương đương $\small (3a+b)+(-a+b)i=$ $-7i$
  Tìm được a = , b = -. Vậy mô đun số phức z là .
  b)
  Số các chọn 4 viên bi lấy từ viên bi là $\small C_{15}^{4}=$
  Xác suất cần tìm
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:
a)
Gọi $\small z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi, \ (a,b\in \mathbb{R})$ . Đẳng thức đã cho tương đương $\small (3a+b)+(-a+b)i=5-7i$
Tìm được a = 3, b = -4. Vậy mô đun số phức z là 5.
b)
Số các chọn 4 viên bi lấy từ 15 viên bi là $\small C_{15}^{4}=1365$
Xác suất cần tìm $\small P=\frac{1365-(C_{6}^{1}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2}+C_{6}^{1}.C_{5}^{2}.C_{4}^{1}+C_{6}^{4}+C_{5}^{4}+C_{4}^{4})}{1365}=\frac{16}{35}$
Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; -2;0) và mặt phẳng (P): 2x - 2y +z - 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
- Mặt phẳng (Q) đi qua M và song song mặt phẳng (P) nên nhận $\small \vec{n}=(2;$ $;$ $)$ là một vectơ pháp tuyến.
  Phương trình mặt phẳng $\small (Q):$ $\small x-2y+z-$ $\small =0$
  Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: $\small d(M;(P))=$
  
  Phương trình mặt cầu là $\small (x-$ $\small )^2+(y+$ $\small )^2+z^2=$
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:
Mặt phẳng (Q) đi qua M và song song mặt phẳng (P) nên nhận $\small \vec{n}=(2;-2;1)$ là một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $\small (Q): 2x-2y+z-6=0$
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: $\small d(M;(P))=\frac{4}{3}$

Phương trình mặt cầu là $\small (x-1)^2+(y+2)^2+z^2=\frac{16}{9}$
Câu 6:

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SADlà tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD, AD = 4a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, $SA=2\sqrt{3}a$ , đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30. Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD . và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
- Tính được
  $HA=$ $a, SH =$ $a\sqrt{3}, SCH=30^0\Rightarrow HC=$ $a, DC=$ $\sqrt{2}a$
  Thể tích khối chóp S.ABCD là $V=$ $.SH.S_{ABCD}=\frac{8\sqrt{6}}{3}a^3$
  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC), $d(M;(SBC))=\frac{1}{2}d(A;(SBC))=$ $d(H;(SBC))$ , vẽ HN vuông góc BC, $HN=$ $\sqrt{2}a$ , kẻ HK vuông góc SN.
  Khi đó HK vuông góc (SBC). Tính được $HK=\frac{2\sqrt{66}}{11}a\Rightarrow d(M;(SBC))=$ $\sqrt{66}a$
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:

Tính được
$HA=3a, SH = a\sqrt{3}, SCH=30^0\Rightarrow HC=3a, DC=2\sqrt{2}a$
Thể tích khối chóp S.ABCD là $V= \frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{8\sqrt{6}}{3}a^3$
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC), $d(M;(SBC))=\frac{1}{2}d(A;(SBC))=\frac{1}{2}d(H;(SBC))$, vẽ HN vuông góc BC, $HN=2\sqrt{2}a$, kẻ HK vuông góc SN.
Khi đó HK vuông góc (SBC). Tính được $HK=\frac{2\sqrt{66}}{11}a\Rightarrow d(M;(SBC))=\frac{\sqrt{66}}{11}a$
Câu 7:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , trực tâm H (-3;2). Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Biết điểm A nằm trên đường thẳng d: x - 3y - 3 = 0, điểm F (-2;3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2.Tìm tọa độ điểm A .
- A thuộc đường thẳng d nên tọa độ $A(3t+$ $;t)$
  $\overrightarrow {FA}=($ $t+5;t-$ $),\ \overrightarrow{HA}=($ $t+6;t-$ $)$ , tam giác ABC cân tại A nên AH vuông góc DE. Vì FD vuông góc AH nên $FA^2-FH^2=DA^2-DH^2=AH^2-2HD^2$
  $\Leftrightarrow (3t+$ $)^2+(t-3)^2-2=($ $t+6)^2+(t-2)^2-8$
  $t=0\Rightarrow A($ $;0)$
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:

A thuộc đường thẳng d nên tọa độ $A(3t+3;t)$
$\overrightarrow {FA}=(3t+5;t-3),\ \overrightarrow{HA}=(3t+6;t-2)$, tam giác ABC cân tại A nên AH vuông góc DE. Vì FD vuông góc AH nên $FA^2-FH^2=DA^2-DH^2=AH^2-2HD^2$
$\Leftrightarrow (3t+5)^2+(t-3)^2-2=(3t+6)^2+(t-2)^2-8$
$t=0\Rightarrow A(3;0)$
Câu 8:

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+3}+\sqrt[4]{x-2}-\sqrt{y^4+5}=y\\ x^2+2x(y-2)+y^2-8y+4=0 \end{matrix}\right.(x\in0 )$
- Điều kiện $\small x\geq$ .
  
  Phương trình thứ hai của hệ viết lại $\small y=(x+y-$ $\small )^2\Rightarrow y\geq 0$
  Đặt $\small t=\sqrt[4]{x-2}\geq 0$ . Phương trình thứ nhất của hệ trở thành $\small t+\sqrt{t^4+5}=y+\sqrt{y^4+5} \ \ (1)$ . Xét hàm số $\small f(u)=u+\sqrt{u^4+5},u\geq 0$ ; khi đó $\small f'(u)> 0, u\geq 0$ từ đó suy ra $\small t = y \Leftrightarrow x=y^4+$ $\small \ \ (2)$
  Thế (2) vào phương trình thứ hai của hệ $\small y(y^7+$ $\small y^4+y-4)=0\Rightarrow y=0, y=$
  Vậy hệ phương trình có nghiệm $\small (2;0), ($ $\small ;1)$
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:
Điều kiện $\small x\geq 2$.

Phương trình thứ hai của hệ viết lại $\small 4y=(x+y-2)^2\Rightarrow y\geq 0$
Đặt $\small t=\sqrt[4]{x-2}\geq 0$. Phương trình thứ nhất của hệ trở thành $\small t+\sqrt{t^4+5}=y+\sqrt{y^4+5} \ \ (1)$. Xét hàm số $\small f(u)=u+\sqrt{u^4+5},u\geq 0$; khi đó $\small f'(u)> 0, u\geq 0$ từ đó suy ra $\small t = y \Leftrightarrow x=y^4+2\ \ (2)$
Thế (2) vào phương trình thứ hai của hệ $\small y(y^7+2y^4+y-4)=0\Rightarrow y=0, y=1$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $\small (2;0), (3;1)$
Câu 9:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c + b = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=\frac{3}{b+c-a}+\frac{4}{a+c-b}+\frac{5}{a+b-c}$
- Áp dụng bất đẳng thức $\small \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},x>0, \ y>$
  $\small S=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+$ $\small \left ( \frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{a+b-c} \right )+$ $\small \left ( \frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c} \right )$
  Suy ra $\small S\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}$
  Từ giả thiết ta có $\small \frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a$ nên $\small \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=$ $\small \left ( \frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a} \right )=$ $\small \left ( a+\frac{3}{a} \right )\geq$ $\small \sqrt{3}$
  
  Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng $\small \sqrt{3}$ . Dấu bằng xảy ra khi $\small a=b=c=$ $\small \sqrt{3}$
  
  Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
  = = = = = = = =
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức $\small \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y},x>0, \ y>0$
$\small S=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}+2\left ( \frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{a+b-c} \right )+3\left ( \frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c} \right )$
Suy ra $\small S\geq \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}$
Từ giả thiết ta có $\small \frac{1}{c}+\frac{2}{b}=a$ nên $\small \frac{2}{c}+\frac{4}{b}+\frac{6}{a}=2\left ( \frac{1}{c}+\frac{2}{b}+\frac{3}{a} \right )=2\left ( a+\frac{3}{a} \right )\geq 4\sqrt{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng $\small 4\sqrt{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $\small a=b=c=\sqrt{3}$