Đề thi THPT Quốc gia năm 2016 môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo

1.
Ta có
\(w=2(1+2i)+1-2i=3+2i\)
Vậy phần thực của w là 3 và phần ảo của w là 2.
2.
Ta có
\(A=2log_2x-3log_2x+\frac{1}{2}log_2x\)
\(=-\frac{1}{2}log_2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Tập xác định: D = R
Sự biến thiên
- Chiều biến thiên:
\(y'=-4x^3+4x\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=\pm 1 \end{matrix};y'>0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<-1\\ 0<x<1 \end{matrix};y'<0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<x<0\\ x>1 \end{matrix}\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((0;1)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty )\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\pm 1, y_{CD}=1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0, y_{CT}=0\)
- Giới hạn
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty\)
- Bảng biến thiên

Đồ thị

Hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in R\)
Ta có
\(f'(x)=3x^2-6x+m\)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(3x^2-6x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta '>0\Leftrightarrow m<3\)
Ta có
\(x^2_1+x^2_2=3\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=3\Leftrightarrow 4-2. \frac{m}{3}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\frac{3}{2}\)

Ta có \(I=\int_{0}^{3}3x^2dx+\int_{0}^{3}3x\sqrt{x^2+16}dx\)
\(I_1=\int_{0}^{3}3x^2dx=x^3\bigg|^3_0=27\)
\(I_2=\int_{0}^{3}3x\sqrt{x^2+16}dx\)
Đặt \(t=x^2+16\), ta có \(t'=2x;t(0)=16,t(3)=25\)
Do đó \(I_2=\int_{16}^{25}\frac{3}{2}\sqrt{t}dt\)
\(=t\sqrt{t}\bigg|^{25}_{16}=61\)
Vậy \(I=I_1+I_2=88\)

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)\)
Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC có phương trình là \(x-y+2z+3=0\)
Đường thẳng BC có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-t\\ z=1+2t \end{matrix}\right.\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Ta có \(H=(P)\cap BC\)
- Vì \(H \in BC\) nên \(H(1+t; -t; 1+2t)\)
- Vì \(H \in (P)\) nên \((1+t)-(-t)+2(1+2t)+3=0\Leftrightarrow t=-1\)
Vậy \(H(0;1;-1)\)

1.
Ta có 
\(2sin^2x+7sinx-4=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} sinx=-4\\ \\sinx=\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(sinx=-4\): Vô nghiệm
\(sinx=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k2\pi \end{matrix}\)
2.
Không gian mẫu \(\Omega\) có số phần tử là \(n(\Omega )=A^3_{10}=720\)
Gọi E là biến cố: "B mở được phòng học". Ta có
\(E=\left \{ (0;1;9),(0;2;8),(0;3;7);(0;4;6),(1;2;7),(1;3;6),(1;4;5),(2,3,5) \right \}\)
Do đó n(E)= 8
Vậy \(P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{1}{90}\)

Gọi H là trung điểm của AC, ta có \(A'H\perp (ABC)\Rightarrow A'BH=45^0\)
Ta có \(BH=\frac{1}{2}AC=a\) và \(S_\Delta =a^2\)
Tam giác A'HB vuông cân tại H, suy ra A'H = BH = a
Do đó \(V_{ABC.A'B'C'}=A'H.S_{\Delta ABC}=a^3\)
Gọi I là giao điểm của A'B và AB', ta có I là trung điểm của A'B và AB'. Suy ra\(HI\perp A'B\)
Mặt khác HI là đường trung bình của \(\Delta AB'C\) nên \(HI//B'C\). Do đó \(A'B\perp B'C\)

Phương trình MN: x + y - 4 = 0
Tọa độ P là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{matrix} x+y-4=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow P \left ( \frac{5}{3};\frac{3}{2} \right )\)
Vì AM song song với DC và các điểm A, B, M, N cùng thuộc một đường tròn nên ta có
\(\widehat{PAM}=\widehat{PCD}=\widehat{ABD}=\widehat{AMP}\)
Suy ra PA = PM
Vì \(A\in AC: x-y-1=0\) nên A(a;a-1), a <2
Ta có \(\left ( a-\frac{5}{2} \right )^2+\left ( a-\frac{5}{2} \right )^2= \left ( \frac{5}{2} \right )^2+\left ( \frac{5}{2} \right )^2\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=0\\ a=5 \end{matrix}\Rightarrow A(0;-1)\)
Đường thẳng BD đi qua N và vuông góc với AN nên có phương trình là 2x + 3y - 10 = 0
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AM nên có phương trình là y - 4 = 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y-10=0\\ y-4=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-1;4)\)


 

Điều kiện \(0<x\leq 2\)
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
\(\small 3log^2_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-4log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ).log_3(3x)+log_3^2(3x)=0\)
\(\Leftrightarrow \left [ log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-log_3(3x) \right ]\) \(\left [ 3log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ) -log_3(3x)\right ]=0\)
\(log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ) -log_3(3x)=0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} =3x\)
\(\Leftrightarrow 4+2\sqrt{4-x^2}=9x^2\Leftrightarrow 2\sqrt{4-x^2}=9x^2-4\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2\geq \frac{4}{9}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ 81x^4-68x^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2=\frac{68}{81}\)
Kết hợp với điều kiện \(0<x\leq 2\), ta có nghiệm \(x=\frac{2\sqrt{17}}{9}\)
\(3log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-log_3(3x)=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^3=3x(1)\)
Vì \(0<x\leq 2\) nên \(3x\leq 6\)
Mặt khác \(\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^2=4+2\sqrt{4-x^2}\geq 4\Rightarrow \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^3\geq 8\)
Do đó phương trình (1) vô nghiệm 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\frac{2\sqrt{17}}{9}\)

1.
Điều kiện \(x\geq 2,y\geq -3\)
Ta có \((*)\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}) (**)\)
\(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\leq x+y+1\) nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 8(x+y+1)\)
\(\Rightarrow x+y+1\leq 8\Rightarrow x+y\leq 7\)
Ta có x = 6, y = 1 thỏa mãn (*) và x + y = 7. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức x + y bằng 7
2.
Vì \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\geq 0\)nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 4(x+y+1)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1\leq 0\\ x+y+1\geq 4 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1=0 (vi \ x+y+1\geq 0)\\ x+y+1\geq 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y=-1\\ x+y\geq 3 \end{matrix}\)
Vì \(x^2\geq 2x\) do \((x\geq 2),y^2+1\geq 2y\) nên \(x^2+y^2+1\geq 2(x+y)\)
Do đó 
\(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\)\(\leq 3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-6(x+y)+3\)
Đặt t = x + y, ta có t = -1 hoặc \(3\leq t\leq 7\)
Xét hàm số \(f(t)=3^{t-4}+(t+1).2^{7-t}-6t+3\). Ta có \(f(-1)=\frac{2188}{243}\)
\(f'(t)=3^{t-4}ln3+2^{7-t}-(t+1)2^{7-t}ln2-6\)
\(f''(t)=3^{t-4}ln^23+\left [ (t+1)ln2-2 \right ]2^{7-t}ln2> 0, \forall t\notin [3;7]\)
Suy ra f'(t) đồng biến trên (3;7). Mà f'(t) liên tuc trên [3,7] và f'(3) f'(7) < 0, do đó f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
Bảng biến thiên

Suy ra \(3^{x+y+4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq \frac{148}{3}\) với mọi x, y thỏa mãn (*)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1
Vậy \(m\geq \frac{148}{3}\)