Câu hỏi trắc nghiệm (10 câu):
-
Câu 1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x^3-3x\)
-
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Các khoảng đồng biến: và ; khoảng nghịch biến: (-1; 1)
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCĐ= ; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT=
- Giới hạn tại vô cực:Bảng biến thiên
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc.
= = = = = = = =
Lời giải:Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: \(y' = 3x^2-3; y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Các khoảng đồng biến: \((-\infty ;-1)\) và \((1;+\infty )\); khoảng nghịch biến: (-1; 1)
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT= -2
- Giới hạn tại vô cực: \(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=- \infty ; \lim_{x\rightarrow +\infty }y=+ \infty\) -
-
Câu 2:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left [ 1;3 \right ]\)
-
Ta có f(x) xác định và liên tục trên đoạn
VớiTa có
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn lần lượt là và
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có f(x) xác định và liên tục trên đoạn \(\left [ 1;3 \right ]\) \(f'(x)=1-\frac{4}{x^2}\)
Với \(x\epsilon \left [ 1;3 \right ], f(x)=0\Leftrightarrow x=2\)Ta có \(f(1) =5, f(2)=4, f(3)=\frac{13}{3}\)
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn \(\left [ 1;3 \right ]\) lần lượt là 5 và 4
-
-
Câu 3:
a) Cho số phức z thỏa mãn (1 - i)z - 1 +5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z.
b) Giải phương trình \(log_{2}(x^2+x+2)=3\)-
a) Ta có z= - i
Do đó số phức z có phần thực bằng , phần ảo bằng
b) TXĐ:Phương trình đã cho tương đương với
Vậy nghiệm của phương trình là x = ; x =
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:a) Ta có \((1 - i)z - 1 +5i = 0\Leftrightarrow z=3-2i\)
Do đó số phức z có phần thực bằng 3, phần ảo bằng - 2
b) TXĐ: \(\mathbb{R}\)Phương trình đã cho tương đương với \(x^2+x+2=8\)\(\Leftrightarrow x^{2}+x-6=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=2\\ x=-3 \end{matrix}\)Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x = -3
-
-
Câu 4:
Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} (x-3)e^xdx.\)
-
Đặt . Suy ra [q2[
Khi đóCác em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Đặt \(u = x - 3; dv = e^xdx\). Suy ra \(du = dx; v=e^x\)
Khi đó \(I= (x-3)e^x\bigg | \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}-\int_{0}^{1}e^xdx\)\(=\) \((x-3)e^x\bigg | \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\)\(- e^x\bigg | \begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\)
\(=-4-3e\)
-
-
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;-2;1), B(2;1;3) và mặt phẳng \((P): x-y+2z-3=0.\) Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
-
Ta có
Đường thẳng AB có phương trình
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Do M thuộc AB nên
M thuộc (P) nên , suy ra . Do đó M (0;-5;-1)Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có \(\overrightarrow{AB} = (1;3;2)\)
Đường thẳng AB có phương trình \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{3}\)
Gọi M là giao điểm của AB và (P). Do M thuộc AB nên \(M(1+t;-2+3t;1+3t)\)
M thuộc (P) nên \(1+t-(-2+3t)+2(1+2t)-3=0\), suy ra \(t=-1\). Do đó M (0;-5;-1) -
-
Câu 6:
a) Tìm giá trình của biểu thức \(P=(1-3cos2\alpha )(2+3cos2\alpha )\) biết \(sin\alpha =\frac{2}{3}\)
b) Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác xuất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn-
a) Ta có
Suy ra
b) Số phần tử của không gian mẫu là
Số kết quả thuận lợi cho biến cố "có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở" là
Xác suất cần tính là
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:a) Ta có \(cos2\alpha =1-2sin^2\alpha =\frac{1}{9}\)
Suy ra \(P = (1-\frac{1}{3})(2+\frac{1}{3})=\frac{14}{9}\)
b) Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{25}^{3}=2300\)
Số kết quả thuận lợi cho biến cố "có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở" là \(C_{20}^{2}.C_{5}^{1}+C_{20}^{3}=2090\)
Xác suất cần tính là \(p=\frac{2090}{2300}=\frac{209}{230}\)
-
-
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
-
Ta có
Suy ra
Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. Ta có nên
Suy ra
Do đó d(AC,SB)=d(A,(SBM))=AH
Tam giác SAM vuông tại A, có đường cao AH, nên
Vậy d(AC, SB) = AH =
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có \(\widehat{SCA}=(SC,(\widehat{ABCD}))=45^0\)
Suy ra \(SA=AC=\sqrt{2}a\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}.a^2=\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\)
Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d; H là hình chiếu vuông góc của A trên SM. Ta có \(SA \perp BM, MA \perp BM\) nên \(AH \perp BM.\)
Suy ra \(AH \perp (SBM).\)
Do đó d(AC,SB)=d(A,(SBM))=AH
Tam giác SAM vuông tại A, có đường cao AH, nên \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{5}{2a^2}\)
Vậy d(AC, SB) = AH = \(\frac{\sqrt{10}a}{5}\)
-
-
Câu 8:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AD. Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
-
Gọi M là trung điểm của AC. Ta có nên M thuộc đường trung trực của HK.
Đường trung trực của HK có phương trình x + y - 10 = 0, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ pt
Suy ra M(0;)
Ta có , nên cân tại H, suy ra HA = HK. Mà MA = MK, nên A đối xứng với K qua MH.
Ta có: ; đường thẳng MH có phương trình 3x - y + = 0. Trung điểm AK thuộc MH và nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
Suy ra A(;)Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AC. Ta có \(MH=MK=\frac{AC}{2}\) nên M thuộc đường trung trực của HK.
Đường trung trực của HK có phương trình 7x + y - 10 = 0, nên tọa độ của M thỏa mãn hệ pt \(\left\{\begin{matrix} x-y+10=0\\ 7x+y-10=0 \end{matrix}\right.\)
Suy ra M(0;10)
Ta có \(\widehat{HKA}=\widehat{HCA}=\widehat{HBA}=\widehat{HAD}\), nên \(\Delta AHK\) cân tại H, suy ra HA = HK. Mà MA = MK, nên A đối xứng với K qua MH.
Ta có: \(\overrightarrow{MH} = (5;15)\); đường thẳng MH có phương trình 3x - y + 10 = 0. Trung điểm AK thuộc MH và \(AK\perp MH\) nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ \(\left\{\begin{matrix} 3(\frac{x+9}{2})-(\frac{y-2}{2})+10=0\\ (x-9)+3(y+3)=0 \end{matrix}\right.\)
Suy ra A(-15;5) -
-
Câu 9:
Giải phương trình \(\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)\) trên tập só thực.
-
Điều kiện . Phương trình cho tương ứng với
(1)
Ta có (1)
(2)Xét hàm số
Ta có suy ra , nên f(t) đồng biến trên R.
Do đó (2)
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = ;Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Điều kiện \(x\geq -2\). Phương trình cho tương ứng với
\(\frac{(x-2)(x-4)}{x^2-2x+3}=\frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=2\\ \frac{x+4}{x^2-2x+3}=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}-2} \end{matrix}\) (1)
Ta có (1) \(\Leftrightarrow (x+4)(\sqrt{x+2}+2)=(x+1)(x^2-2x+3)\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}+2)\left [ (\sqrt{x+2})^2+2\right ]=\left [ (x-1) +2\right ]\left [ (x-1)^2+2 \right ]\) (2)Xét hàm số \(f(x)=(t+2)(t^2+2).\)
Ta có \(f'(t)=3t^2+4t+2\) suy ra \(f'(t)> 0, \forall t\epsilon R\), nên f(t) đồng biến trên R.
Do đó (2) \(\Leftrightarrow f(\sqrt{x+2})=f(x+1)\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=x-1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 1\\ x^2-3x-1=0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 2; \(x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) -
-
Câu 10:
Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. \(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}\)-
Đặt
Ta có . Suy ra .
Mặt khác, nên và ,
nên . Suy ra .
Vậy
Khi đó
Xét hàm số , với . Ta có
Do đó , nên nghịch biến trên đoạn
Suy ra . Do đó
Ta có a = , b = 2, c = thỏa nãm điều kiện của bài toán và khi đó .
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng .
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
= = = = = = = =
Lời giải:Đặt \(t=ab+bc+ca\)
Ta có \(36=(a+b+c)^2=\frac{1}{2}\left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right ]+3t\geq 3t\). Suy ra \(t\leq 12\).
Mặt khác, \((a-1)(b-1)(c-1)\geq 0\) nên \(abc\geq ab+bc+ca-5=t-5\) và \((3-a)(3-b)(3-c)\geq 0\), nên \(3t=3(ab+bc+ca)\geq abc+27\geq t+22\). Suy ra \(t\geq 11\).
Vậy \(t\epsilon \left [ 11;12 \right ]\)
Khi đó
\(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)+72}{ab+bc+ca}-\frac{abc}{2}\)
\(=\frac{(ab+bc+ca)^2+72}{ab+bc+ca}-\frac{abc}{2}\leq \frac{t^2+72}{t}-\frac{t-5}{2}=\frac{t^2+5t+144}{2t}\)
Xét hàm số \(f(t)=\frac{t^2+5t+144}{2t}\), với \(t\epsilon \left [ 11;12 \right ]\). Ta có \(f'(t)=\frac{t^2-144}{2t^2}\)
Do đó \(f'(t)\leq 0,\forall t \epsilon \left [ 11;12 \right ]\), nên \(f'(t)\) nghịch biến trên đoạn \(\left [ 11;12 \right ]\)
Suy ra \(f(t)\leq f(11)=\frac{160}{11}\). Do đó \(P\leq \frac{160}{11}\)
Ta có a = 1, b = 2, c = 3 thỏa nãm điều kiện của bài toán và khi đó \(P=\frac{160}{11}\).
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng \(\frac{160}{11}\).
-