Dạng 3: Thay đổi một trong các đại lượng để Pmax

Hôm nay chúng ta tìm hiểu về dạng 3 của bài toán Công suất, đó là Thay đổi một trong các đại lượng để Pmax , đây cũng là một trong những dạng bài quan trọng của chương Điện xoay chiều. Sau khi học xong bài này các em sẽ thấy có nhiều vấn đề liên quan đến cộng hưởng điện.

* Thay đổi L, C, \(\omega\) để P_max

Ta có: \(P = RI^2 = R. \frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2}\)
Khi L, C, \(\omega\) thay đổi ⇒ \((Z_L - Z_C)^2\) thay đổi
\(\Rightarrow P_{max} \Leftrightarrow Z_L - Z_C = 0 \Leftrightarrow Z_L = Z_C\): Xảy ra cộng hưởng điện
Lúc này: \(\left\{\begin{matrix} P_{max} = UI_{max} = RI_{max}^{2} = \frac{U^2}{R}\\ (\cos \varphi )_{max} = 1 \hspace{2,6cm} \end{matrix}\right.\)

* Thay đổi R để P_max
Ta có: \(P = R.\frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2} = \frac{U^2}{\frac{R^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R}}\)
\(\Leftrightarrow P = \frac{U^2}{R + \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R}}\)
Do U không đổi \(\Rightarrow P_{max} \Leftrightarrow \left [ R + \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R} \right ]_{min}\)
Mà: \(R + \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R} \geq 2|Z_L - Z_C|\)
Dấu "=" xảy ra khi \(R = \frac{(Z_L - Z_C)^2}{R} \Rightarrow R = |Z_L - Z_C|\)
Vậy thay đổi R để P_max thì:
\(\left\{\begin{matrix} R = |Z_L - Z_C| \hspace{3,8cm} \\ P_{max} = \frac{U^2}{2R} = \frac{U^2}{R}\cos ^2 \varphi \Rightarrow \cos ^2 \varphi = \frac{1}{2}\\ \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,707 \hspace{3cm} \end{matrix}\right.\)

* Cuộn dây có điện trở r

\(\\ \cdot \ Z_d = \sqrt{r^2 + Z_{L}^{2}} \Rightarrow U_d= \sqrt{U_{r}^{2} + U_{L}^{2}} \\ \cdot \tan \varphi _d = \frac{Z_L}{r}'\ \cos \varphi _d = \frac{r}{Z_d} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + Z_{L}^{2}}} \\ \cdot P_{cd} = rI^2 = r\frac{U^2}{(R + r)^2 + (Z_L - Z_C)^2}\)

* Thay đổi R để (P_mạch)_max

Ta có \(P_{mach} = R_b.\frac{U^2}{R_{b}^{2} + (Z_L - Z_C)^2},\ R_b = R + r\)

⇒​ (P_mạch)_max khi \(\left\{\begin{matrix} R_b= |Z_L - Z_C| \ \ \\ (P_{mach})_{max} = \frac{U^2}{2R_b} \end{matrix}\right.\)
Nếu \(r \geq |Z_L - Z_C| \Rightarrow R_b = r\) (Lúc này R = 0)

* Thay đổi R để (P_R)_max
Ta có: \(P_R = R.I^2 = R.\frac{U^2}{(R+r)^2 + (Z_L - Z_C)^2} = \frac{U^2}{R + \frac{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R}+2r}\)
Do U không đổi \(\Rightarrow (P_R)_{max} \Leftrightarrow \left [ R + \frac{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R} \right ]_{min}\)
Mà: \(R + \frac{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}{R}\geq 2.\sqrt{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(R = \sqrt{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}\)
Lúc này: \((P_R)_{max} = \frac{U^2}{2(R+r)}\)

VD1: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số góc thay đổi được vào hai đầu mạch RLC ghép nối tiếp khi f = f₁ thì P_max = 200 W. Khi f = f₂ thì điện áp hai đầu đoạn mạch lệch pha nhau \(\frac{\pi }{6}\) so với điện áp hai đầu tụ C. Tìm P lúc này?
Giải:
\(f = f_1 \Rightarrow P_{max} = 200 = \frac{U^2}{R}\) (CHĐ)
f = f₂ ⇒ u lệch pha \(\frac{\pi }{6}\) so với u_C

\(\Rightarrow P = P_{max}.\cos ^2 \varphi\)
Vậy: \(P = 200.\cos ^2 \left ( -\frac{\pi }{3} \right ) = 50\ V\)

VD2: Đặ điện áp \(u = 200\sqrt{2}\cos (100 \pi t - \frac{\pi }{4})\) (V) vào hai đầu đoạn mạch RLC ghép nối tiếp gồm \(R = 60 \ \Omega,\ L = \frac{6}{5 \pi } \ H,\ C = \frac{10^{-4}}{2 \pi }F\) thì công suất tiêu thụ của mạch là P₁. Thay R bằng R' thì công suất tiêu thụ mạch cực đại và bằng P₂. Tìm \(\frac{P_2}{P_1}\)?
Giải:
\(Z_L = L\omega = 120\ \Omega ; \ Z_C = \frac{1}{C\omega } = 200 \ \Omega\)
Ta có: \(P_1 = R.\frac{U^2}{R^2 + (Z_L - Z_C)^2} = 60.\frac{200^2}{60^2 + (120 - 200)^2} = 240\ (W)\)
Thay R = R' thì \(P_{max} = \left\{\begin{matrix} R' = |Z_L - Z_C| = 80\ \Omega \\ P_{max} = P_2 = \frac{U^2}{2R'} \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P_2 = \frac{200^2}{2.80} = \frac{200^2}{160} = 250\ (W)\)
\(\Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \frac{250}{240} = \frac{25}{24}\)

VD3: Cho mạch điện 
\(u_{AB} = 100\sqrt{2}\cos 100 \pi t \ (V);\ r = 30\ \Omega ;\ L = 318\ mH;\ C = \frac{10^{-3}}{6 \pi }F\). Khi R = R₁ thì (P_R)_max. Khi R = R₂ thì (P_AB)_max. Tìm tỉ số R₁ và R₂?
Giải:
\(\\Z_L = L\omega = 318.10^{-3}.100\pi = 100\ \Omega \\ Z_C = \frac{1}{C\omega } = \frac{1}{\frac{10^{-3}}{6\pi }.100 \pi } = 60\ \Omega \\ \cdot \ R = R_1 \Rightarrow (P_R)_{max} \Rightarrow R_1 = \sqrt{r^2 + (Z_L - Z_C)^2}\\ \Rightarrow R_1 = \sqrt{30^2 + (100-60)^2} = 50\ \Omega \\ \cdot \ R = R_2 \Rightarrow (P_{AB})_{max} \Rightarrow R_2 + r = |Z_L - Z_C| \\ \Rightarrow R_2 + 30 = |100-60| = 40 \Rightarrow R_2 = 10\ \Omega\)
Vậy: \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{50}{10}= 5\)