Dạng 3: Thay đổi chu kỳ con lắc đơn khi thay đổi độ cao, nhiệt độ

Bài giảng giúp học sinh củng cố các kiến thức cũng như các công thức tính toán chu kì của con lắc đơn khi thay đổi độ cao, nhiệt độ hoặc cả hai đại lượng. Qua đó thấy được sự ảnh hưởng của độ cao và nhiệt độ đối với sự di chuyển của đồng hồ quả lắc. Bên cạnh đó học sinh được hướng dẫn giải một số bài tập, để rèn luyện một số kĩ năng tính toán cần thiết.

Dạng 3 của con lắc đơn: Thay đổi chu kỳ của con lắc đơn khi thay đổi độ cao, nhiệt độ. Thay đổi chu kỳ chúng ta hiểu là con lắc đơn dao động điều hòa (ở bài trước đã được nhắc). Khi con lắc đơn được đề bài nói là dao động bé hoặc là dao động với chu kỳ, tần số bao nhiêu đó; thì mặc định nó là dao động điều hòa. Và bây giờ chúng ta tim hiểu thay đổi chu kỳ của con lắc đơn dao động điều hòa khi thay đổi độ cao và nhiệt độ của nó là như thế nào?

Vậy khi thay đổi độ cao là thay đổi cái gì? Năm lớp 10 mình đã biết rồi, khi thay đổi độ cao của một vật nào đó thì gia tốc trọng trường, gia tốc rơi tự do hay lực hút của trái đất tác dụng vào vật sẽ thay đổi. Cho nên khi thay đổi độ cao có nghĩa là gia tốc của vật thay đổi. Khi thay đổi nhiệt độ có nghĩa là độ dài của dây treo sẽ thay đổi, đó là sự giãn nở vì nhiệt của con lắc.

* Thay đổi T khi thay đổi độ cao
+ Ở mặt đất:
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
Với \(g = G.\frac{M}{R^2}\)
+ Ở độ cao h:
\(T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}\)
Với \(g' = G.\frac{M}{(R + h)^2}\)
\(\Rightarrow \frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{(r + h)^2}{R^2}} = \frac{R + h}{R}\)
\(\Rightarrow \frac{T'}{T} = 1 + \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{h}{R} > 0\)

* Thay đổi T khi chuyển đổi nhiệt độ
NHỚ: Với \(\varepsilon , \varepsilon ' > 0;\ \varepsilon , \varepsilon ' \ll 1\)
Ta có: \((1 \pm \varepsilon ) ^m \approx 1 \pm m\varepsilon\)
          \((1 + \varepsilon ) ^m . (1 - \varepsilon ) ^n \approx 1 + m\varepsilon - n\varepsilon '\)
+ Ở nhiệt độ t₁: \(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_1}{g}}\)
Với \(\ell_1 = \ell_0 (1 + \alpha t_1)\)
+ Ở nhiệt độ t₂: \(T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell_2}{g}}\)
Với \(\ell_2 = \ell_0 (1 + \alpha t_2)\)
\(\Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell _1}} = \sqrt{\frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}} = \frac{(1 + \alpha t_2)^{\frac{1}{2}}}{(1 + \alpha t_1)^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = (1 + \alpha t_2)^{\frac{1}{2}}.(1 + \alpha t_1)^{-\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} \alpha t_2 - \frac{1}{2} \alpha t_1\)
\(\Rightarrow \frac{T_2}{T_1} - 1 = \frac{1}{2}\alpha (t_2 - t_1)\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta T}{T_1} = \frac{T_2 - T_1}{T_1} = \frac{1}{2} \alpha (t_2 - t_1)\)

* Thay đổi T khi thay đổi cả độ cao và nhiệt độ
\(\Rightarrow \frac{\Delta T}{T} = \frac{h}{R} + \frac{1}{2} \alpha (t_1 - t_2)\)

* Sự nhanh (chậm) của đồng hồ quả lắc
+ Nếu \(\Delta T > 0 \Leftrightarrow T_2 > T_1\): chu kỳ tăng ⇒ Đồng hồ chạy chậm.
+ Nếu \(\Delta T < 0 \Leftrightarrow T_2 < T_1\): chu kỳ giảm ⇒ Đồng hồ chạy nhanh.
+ Nếu \(\Delta T = 0 \Leftrightarrow T_2 =T_1\): chu kỳ không đổi ⇒ Đồng hồ chạy đúng.
⇒ Thời gian nhanh (chậm) trong 1 ngày đêm.
\(\Rightarrow \Delta t = \left | \frac{\Delta T}{T_1} \right | \times 2,4 \times 3600\ (s)\)
Thường \(T_2 \approx T_1 \Rightarrow \Delta t = \left | \frac{\Delta T}{T_2} \right | \times 86400\ (s)\)

VD1: Một đồng hồ quả lắc, dây treo dài ℓ, hệ số nở dài \(\alpha = 2.10^{-5}k^{-1}\) đang chạy đúng. Nếu nhiệt độ môi trường giảm 10⁰C thì trong 1 ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu?
Giải:
\(\alpha = 2.10^{-5}k^{-1}\)
\(t_2 - t_1 = -10\)
Ta có:
\(\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha (t_2 - t_1)\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2}.2.10^{-5}.(-10) = -10^{-4} < 0\)
⇒ Đồng hồ chạy nhanh.
⇒ Thời gian nhanh trong 1 ngày đêm
\(\Delta t = \left | \frac{\Delta T}{T} \right | \times 24 \times 3600\)
\(\Rightarrow \Delta t = 10^{-4} \times 86400 = 8,64\ (s)\)

VD2: Khi đưa một con lắc đơn lên cao 9,6 km so với mặt đất thì cần tăng hay giảm chiều dài bao nhiêu phần trăm để chu kỳ không đổi? Lấy bán kính Trái Đất R = 6400 km.
Giải:
Ta có:
• Mặt đất: \(T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}\)
• Ở độ cao h: \(T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{g'}}\)
T₂ = T₁
\(\Rightarrow 2\pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell }{g'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{\ell }{\ell + \Delta \ell }} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{\Delta \ell}{\ell }}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\left ( 1 + \frac{\Delta \ell}{\ell} \right )^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{G.\frac{M}{R^2}}{G.\frac{M}{(R + h)^2}}} = \frac{R + h}{R}\)
\(\Rightarrow \left ( 1 + \frac{\Delta \ell}{\ell} \right )^{-\frac{1}{2}} = 1+\frac{h}{R} \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}.\frac{\Delta \ell}{\ell} = 1 + \frac{h}{R}\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta \ell}{\ell} = -\frac{2h}{R} = - \frac{2.9,6}{6400} = -0,003\)
\(\Rightarrow \frac{\Delta \ell}{\ell} = 0,3\%\) ⇒ Giảm chiều dài ban đầu 0,3%