Dạng 10: Quãng đường dài nhất - Quãng đường ngắn nhất

Sau khi học bài học này, học sinh nắm được một số kỹ năng giải các bài tập liên quan đến quãng đường dài nhất, quãng đường ngắn nhất trong một thời gian xác định. Qua việc xét một số trường hợp của bài toán, học sinh có thể tìm được quãng đường một cách nhanh nhất.

Hôm nay chúng ta sẽ qua tiếp dạng 10 cả bài Dao động điều hòa, dạng 10 là Quãng đường dài nhất - Quãng đường ngắn nhất trong khoảng thời gian ∆t.

NHỚ:
Trong \(\frac{1}{2}T \Rightarrow S = 2A\)
Xét \(\Delta t_0 < \frac{T}{2} \Rightarrow S = \overline{v}.\Delta t_0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{max}\\ \overline{v}_{max} \end{matrix}\right.\) ⇒ Xung quanh VTCB
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{min}\\ \overline{v}_{min} \end{matrix}\right.\) ⇒ Xung quanh VT biên

* Xét S_max:

\(\Delta t_0 = \frac{\alpha .T}{2\pi}\)
S = |x₁ + x₂| với \(\left\{\begin{matrix} \sin \alpha _1 = \frac{|x_1|}{A}\\ \sin \alpha _2 = \frac{|x_2|}{A} \end{matrix}\right.\)
\(\\ \Rightarrow S = A(\sin \alpha _1 + \sin \alpha _2) = 2A\sin \frac{\alpha _1 + \alpha _2}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \\ \Rightarrow S = 2A\sin \frac{\alpha}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{max} = 2A\sin \frac{\alpha}{2}\\ \alpha _1 = \alpha _2 \hspace{1,3cm} \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow S = 2A\sin \left ( \frac{\pi}{T}. \Delta t_0 \right )\)
* Tổng quát:
Với \(\Delta t > \frac{T}{2}\)
Xét \(\frac{\Delta t}{\frac{T}{2}} = k + \frac{p}{q} \ \ (p < q)\)
\(\\ \Rightarrow \Delta t = \underbrace{ k.\frac{T}{2} }_{k.2A} + \underbrace{ \frac{p}{q}.\frac{T}{2} }_{\Delta t_0 < \frac{T}{2}} \\ \Rightarrow S_{max} = k.2A + 2A. \sin \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right )\)

* Xét S_min:
S = A – |x₁| + A – |x₂| = 2A – (|x₁| + |x₂|)
Với \(\left\{\begin{matrix} \cos \alpha _1 = \frac{|x_1|}{A}\\ \cos \alpha _2 = \frac{|x_2|}{A} \end{matrix}\right.\)

\(\\ \Rightarrow S = 2A - A(\cos \alpha _1 + \cos \alpha _2) = 2A - 2A\cos \frac{\alpha _1 + \alpha _2}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \\ \Rightarrow S = 2A - 2A\cos \frac{\alpha}{2} . \cos \frac{\alpha _1 - \alpha _2}{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_{min} = 2A\left [ 1-\cos \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) \right ]\\ \alpha _1 = \alpha _2 \hspace{3,6cm} \end{matrix}\right.\)
* Tổng quát:
Với \(\Delta t > \frac{T}{2}\)
Xét \(\frac{\Delta t}{\frac{T}{2}} = k + \frac{p}{q} \ \ (p < q)\)
\(\\ \Rightarrow \Delta t = \underbrace{ k.\frac{T}{2} }_{k.2A} + \underbrace{ \frac{p}{q}.\frac{T}{2} }_{\Delta t_0} \\ \Rightarrow S_{min} = k.2A + 2A\left [ 1 - \cos\left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) \right ]\)

VD1: Một vật dao động với phương trình: \(x = 5\cos(2\pi t - \frac{\pi}{8})\)(cm).
a. Tìm quãng đường dài nhất, ngắn nhất trong thời gian \(\frac{2}{3}\) s?
b. Tìm tốc độ trung bình lớn nhất trong thời gian \(\frac{5}{3}\) s?
Giải:
\(T = \frac{2 \pi}{\omega } = 1s \Rightarrow \frac{T}{2} = \frac{1}{2}s\)
a. Xét \(\frac{\Delta T}{\frac{T}{2}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{1} = \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \Delta t = \frac{T}{2} + \underbrace{ \frac{T}{2}.\frac{1}{3} }_{\frac{T}{6} = \Delta t_0}\)
\(\cdot \ S_{max} = 2A + 2A\sin\left ( \frac{\pi}{T}.\frac{T}{6} \right ) = 3A = 15\ cm\)\(\cdot \ S_{min} = 2A + 2A\left [ 1 - \cos \left ( \frac{\pi}{T}.\frac{T}{6} \right ) \right ]\)
             \(= 4A - 2A.\frac{\sqrt{3}}{2} = 4A - A\sqrt{3} = 20 - 5\sqrt{3} \ (cm)\)
b. \(\left\{\begin{matrix} \Delta t = \frac{5}{3}s\\ \overline{v}_{max}= \ ? \end{matrix}\right.\)
\(\overline{v}_{max} = \frac{S}{\Delta t} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overline{v}_{max}\\ S_{max} \end{matrix}\right.\)
Xét \(\frac{\Delta t}{\frac{T}{2}} = \frac{5}{3}.\frac{2}{1} = 3 + \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \Delta t = 3.\frac{T}{2} + \underbrace{ \frac{1}{3}.\frac{T}{2} }_{\frac{T}{6} = \Delta t_0}\)
\(\Rightarrow S_{max} = 3.2A + 2A.\sin \left ( \frac{\pi}{T}.\frac{T}{6} \right ) = 7A = 35\ cm\)
\(\Rightarrow \overline{v}_{max} = \frac{S_{max}}{\Delta t} = \frac{35}{\frac{5}{3}} = 21 \ \frac{cm}{s}\)

VD2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo 12 cm, trong thời gian \(\frac{1}{3}\)s vật đi được quãng đường nhỏ nhất bằng 30 cm. Tìm tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng?
Giải:
\(\ell = 12\ cm \Rightarrow A = \frac{\ell}{2} = 6 \ cm\)
\(\\ \left\{\begin{matrix} \Delta t = \frac{1}{3}s \hspace{3,5cm}\\ S_{min} = 30\ cm = \underbrace{2.12}_{2.\frac{T}{2}} + \underbrace{6}_{\Delta t_0} \end{matrix}\right. \\ \begin{matrix} S_{min} = 30 = & \underbrace{ 2.2A } & + & \underbrace{ A }\\ & 2.\frac{T}{2} & + & \Delta t_0 & = & \frac{1}{3}s \end{matrix}\)
\(\\ \Rightarrow A = 2A\left [ 1 - \cos \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) \right ] \\ \Rightarrow \cos \left ( \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 \right ) = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{\pi}{T}.\Delta t_0 = \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow \Delta t_0 = \frac{T}{3} \\ \Rightarrow T + \frac{T}{3} = \frac{1}{3}s \\ \Rightarrow T = \frac{1}{4}s \\\Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T} = 8\pi \frac{rad}{s}\)
Vậy \(|v| _{max} = \omega A = 8\pi.6 = 48\pi \left (\frac{cm}{s} \right )\)