Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0989 627 405  Tuyển Giáo Viên

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

Bài giảng ứng dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức  gồm có 2 phần nội dung chính:

  • Lý thuyết
  • Các ví dụ cụ thể nhằm giúp các em chứng minh được đồng biến và nghịch biến.

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Lý thuyết 
 Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) nếu \left\{\begin{matrix} x_1,x_2\in (a;b)\\ x_1<x_2 \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) nếu \left\{\begin{matrix} x_1,x_2\in (a;b)\\ x_1<x_2 \end{matrix}\right.\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
2. Ví dụ 
VD1: Chứng minh sinx<x< tanx,\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})
Giải
sin.sinx<x,\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})
Xét f(x)=sinx-x trên (0;\frac{\pi}{2})
f'(x)=cosx-1\leq 0
f(x)=0\Leftrightarrow x=0 do x\in \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]
f(x) nghịch biến trên \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ]
0<x<\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(0)>f(x)
\Rightarrow 0>sinx-x
sinx<tanx,\forall x\in (0;\frac{\pi}{2})
Xét f(x)=tanx-x trên (0;\frac{\pi}{2})
f'(x)=-\frac{1}{cos^2x}-1=\frac{1-cos^2x}{cos^2x}=\frac{sin^2x}{cos^2x}\geq 0
f'(x)=0\Leftrightarrow sinx=0\Leftrightarrow x=0
f(x) đồng biến trên \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ) 
0<x<\frac{\pi}{2}\Rightarrow f(0)<f(x), (do \ x\in \left [ 0;\frac{\pi}{2} \right ])
\Rightarrow 0<tanx-x
\Rightarrow x<tanx
VD2: Chứng minh rằng  \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2} \ \forall a,b,c>0
Giải
Không mất tính quát giả sử a\geq b\geq c>0
Đặt x = a, ta có x\geq b\geq c>0
Xét f(x)=\frac{x}{b+c}+\frac{b}{c+x}+\frac{c}{x+b} nên [b;+\infty )
f'(x)=\frac{1}{b+c}-\frac{b}{(c+x)^2}-\frac{c}{(x+c)^2}\geq \frac{1}{b+c}-\frac{b}{(b+c)^2}-\frac{c}{(b+c)^2}=0
f'(x)=0\Leftrightarrow x=b=c
​f(x) đồng biến trên [b;+\infty )

x\geq b\Rightarrow f(x)\geq f(b)=\frac{2b}{b+c}+\frac{c}{2b}
Đặt y = b, y\geq c
Xét g(y)=\frac{2y}{y+c}+\frac{c}{2y} trên [c;+\infty )
g'(y)=\frac{2(y+c)-2y}{(y+c)^2}-\frac{c}{2y^2}
=\frac{2c}{(y+c)^2}-\frac{c}{2y^2}=C.\frac{4y^2-(y+c)^2}{2y^2(y-c)^2}\geq 0
g'(y)=0\Leftrightarrow y=c
g(y) là hàm số đồng biến trên [c;+\infty )
y\geq c\Rightarrow g(y)\geq g(c)=\frac{2c}{2c}+\frac{c}{2c}=\frac{3}{2}
Vậy \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}
Dấu đẳng thức khi a=b=c
VD3: Cho x, y, z không âm x+y+z=1. CMR: xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}. Không mất tính tổng quát giả sử.
Giải
x=min\left \{ x,y,z \right \}
3x\leq x+y+z\Rightarrow 3x\leq 1\Rightarrow x\leq \frac{1}{3}
A=xy+yz+xz-2xyz-\frac{7}{27}
=x(y+z)+yz(1-2x)-\frac{7}{27}
\leq x(1-x)+\frac{(y+2)^2}{2}(1-2x)-\frac{7}{27}

A\leq x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{2}(1-2x)-\frac{7}{27}
A\leq x-x^2+\frac{1}{4}(1-2x+x^2)(1-2x)-\frac{7}{27}
\leq x-x^2+\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{4}x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{7}{27}
Xét f(x)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{108} nên [0;\frac{1}{3})
f'(x)=-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x(-3x+1)\geq 0
f'(x)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=\frac{1}{3} \end{matrix}
f(x) đồng biến trên [0;\frac{1}{3}]
0\leq x\leq \frac{1}{3}\Rightarrow f(x)\leq f(\frac{1}{3})=0
A\leq f(x)\leq 0
hay xy+yz+xz-2xyz\leq \frac{7}{27}
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z= \frac{1}{3}
VD4: Cho x,y \geq 0,x+y=2. \ CMR \ x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2

Giải
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4-2xy
xy\leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )=1

Vậy 0\leq xy\leq 1
Đặt t=xy, ta có 
x^2y^2(x^2+y^2)=t^2(4-2t)
Xét f(t)=4t^2-2t^3 trên [0;1]
f'(t)=8t-6t^2=t(8-6t)\geq 0
f(t)=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=0\\ t=\frac{1}{3} \ (loai) \end{matrix}
(t) đồng biến trên [0;1]
0\leq t\leq 1\Rightarrow f(t)\leq f(1)=2
Vậy x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2
Dấu đẳng thức khi x = y =1 
VD5: a) CMR: \frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\leq 2 \ \ \forall x\in R
b) CMR:\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{y^2-y+1}+\sqrt{z^2-z+1}\geq 3
Với \forall x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
Giải
a) Xét f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}} trên R
f'(x)=\frac{\sqrt{x^2-x+1}-\frac{(2x-1)(2+1)}{2\sqrt{x^2-x+1}}}{x^2-x+1}-\frac{-3x+3}{2(x^2-x+1)\sqrt{x^2-x+1}}
f'(x)=0\Leftrightarrow x=1

f(x)\leq 2 (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi x= 1

b)
Từ (a) \frac{x+1}{\sqrt{x^2-x+1}}\leq 2
\Rightarrow \frac{1}{2}(x+1)\leq \sqrt{x^2-x+1}
Tương tự \Rightarrow \frac{1}{2}(y+1)\leq \sqrt{y^2-y+1}
\frac{1}{2}(z+1)\leq \sqrt{z^2-z+1}
\Rightarrow \frac{1}{2}(x+y+z+3)\leq \sqrt{x^2-x+1}+ \sqrt{y^2-y+1}+ \sqrt{z^2-z+1}=A
3\leq A
(đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y=  z =1 

Giảm 50% học phí 700.000đ 350.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
29
00:31:25 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
31
00:23:04 Bài 4: Mặt trụ - hình trụ - khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
00:16:58 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
34
00:58:51 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
00:21:56 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
00:15:37 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
00:32:41 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
48
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp