Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

I. Lý thuyết
Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy là R.
\(S_{xq}=2\pi .R.h\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2\)

II. Bài tập
Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ, có độh dài đường tròn đáy là 8 cm, khoảng cách giữa 2 đáy là 5 cm.

Giải
\(2R=8cm\Rightarrow R=4cm\)
Chiều cao h bằng khoảng cách giữa hai đáy bằng 5 cm
\(S_{xq}=2\pi .R.h=2\pi .4.5=40\pi (cm^2)\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=40\pi+2 \pi.4^2=72\pi (cm^2)\)
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD, có AB=3cm, AD = 4cm. Tính S_xq, S_tp của hình trụ tạo thành khi cho đường gấp khúc.
a) ABCD quay quanh AB
b) BADC quay quanh BC.
Giải

a) 
Khi cho đường gấp khúc ADCB quay quanh AB ta được hình trụ có chiều cao h₁ = AB = 3 (cm)
Bán kính hình tròn đáy là R₁ = 4 cm
\(S_{xq}=2\pi .R_1.h_1=2\pi .4.3=24\pi (cm^2)\)

\(S_{tp}=2\pi .R_1.h_1+2\pi R_1^2=24\pi+32 \pi=56\pi (cm^2)\)
b)
Khi cho đường gấp khúc BADC quay quanh BC ta được hình trụ có chiều cao \(h_2=BC=AD=4(cm)\)
bán kính hình tròn đáy \(R_2=AB=3(cm)\)

\(S_{xq}=2\pi .R_2.h_2=2\pi .3.4=24\pi (cm^2)\)

\(S_{tp}=2\pi .R_2.h_2+2\pi R_2^2=24\pi+18 \pi=42\pi (cm^2)\)
Nhận xét: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = k.AD.
Gọi S₁, S₂ l³ diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành khi cho đường gấp khúc ADCB quay quanh AB, BADC quay quanh BC. Tính \(\frac{S_1}{S_2}\)

Giải
\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi AD.AB+2\pi AD^2}{2\pi AB.AD+2\pi AB^2}\)
\(=\frac{2\pi .k.AD^2+2\pi AD^2}{2\pi .k.AD+2\pi.k.AD^2}=\frac{k+1}{k+k^2}=\frac{1}{k}\)

Ví dụ 3: Cho hộp hình trụ có thể tích là V. Tìm bán kính để nguyên liệu dùng làm vỏ hộp là ít nhất.
Giải
Gọi bán kính hình trụ là R, chiều cao h, ta có:
\(V=\pi .R^2.h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi.R^2 }\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=2\pi R.\frac{V}{\pi R^2}+2\pi R^2\)
\(=\frac{2V}{R}+2\pi R^2=f(R)\)
\(f'(R)=-\frac{2V}{R^2}+4\pi R\)
\(f'(R)=0\Leftrightarrow 4\pi R^3=2V\)
\(\Leftrightarrow R^3=\frac{V}{2\pi }\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)

\(f(R)_{min}=f\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
\(S_{tp_{min}}\Leftrightarrow R=\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
Cách 2:
\(S_{tp}=\frac{V}{R}+\frac{V}{R}+2\pi R^2\geq 3.\sqrt[3]{\frac{V}{R}.\frac{V}{R}.2\pi R^2} =3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\)
\(S_{tp_{min}}=3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\Leftrightarrow \frac{V}{R}=2\pi .R^2 \Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)