Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

Bài giảng Ứng dụng tính đơn điệu giải hệ phương trình sẽ giúp các em nắm kỹ hơn cách giải hệ phương trình, cách tìm tính nghịch biến, đồng biến về tính đơn điệu của hệ phương trình.

NỘI DUNG BÀI HỌC

Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ xét ứng dụng của tính đơn điệu để giải hệ phương trình và hệ bất phương trình, trong việc mà chúng ta muốn giải hệ hoặc là bất phương trình thì chúng cần xác định được chúng ta xét hàm nào, xét trên miền nào. Và các kỹ thuật chúng ta xác định hàm và miền thì nó cũng giống như trong bài toán giải phương trình và bất phương trình.

VD1: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} cotx-coty=x-y\\ 3x+5y=2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right.

Giải
\left\{\begin{matrix} 3x+5y=2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x<2\pi\\ 5y<2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0<x<\frac{2\pi}{3}\\ 0<y<\frac{2\pi}{5} \end{matrix}\right.
Xét f(t)=cott-t trên (0;\frac{2\pi}{3})
f'(t)=-\frac{1}{sin^2t}-1<0

f(t) nghịch biến trên (0;\frac{2\pi}{3})
(1)\Leftrightarrow cotx-x=coty-y
\Leftrightarrow f(x)=f(y)

lại có f(t) nghịch biến trên (0;\frac{2\pi}{3}), x,y\in (0;\frac{2\pi}{3})
suy ra x = y

Hệ pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ 3x+5y=2\pi\\ 0<x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\frac{\pi}{4}
VD2: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right. (A-2003)
Giải
ĐK: x,y\neq 0
Xét f(t)=t-\frac{1}{t}  nên (-\infty ;0);(0;+\infty )
f'(t)=1+\frac{1}{t^2}>0
f(t) đồng biến trên 2 khoảng (-\infty ;0);(0;+\infty )
TH1: x,y\in (0;+\infty )
(1)\Leftrightarrow f(x)=f(y)
lại có f(t) đồng biến trên (0;+\infty )
Suy ra x = y
Hệ pt  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ x^3-2x+1=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ (x-1)(x^3+x-1)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \ (loai)\\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{matrix}\right.
Vậy \left\{\begin{matrix} x=y=1\\ x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.
TH2: x,y\in (-\infty ;0)
Tương tự hệ \left\{\begin{matrix} x=y<0\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y<0\\ x^3-2x+1=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y<0 \ (loai)\\ \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ (loai) \end{matrix} \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow x=y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
TH3: \left\{\begin{matrix} x>0\\ y<0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+1>0\\ 2y<0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow 2y<x^3+1 không thỏa mãn hệ
\left\{\begin{matrix} x<0\\ y>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+1<1\\ 2y>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2y<1\\ x^3+1>0 \end{matrix}\right.
TH4: \left\{\begin{matrix} 0<y<\frac{1}{2}\\ -1<x<0 \end{matrix}\right.
f(t) đồng biến trên (-\infty ;0)(0;+\infty )
-1<x<0\Rightarrow f(-1)<f(x)\Rightarrow 0< x-\frac{1}{x}
0<y<\frac{1}{2}\Rightarrow f(y)<f(\frac{1}{2})\Rightarrow y-\frac{1}{y}< \frac{1}{2}-2< C
Không thỏa mãn pt x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}
KL: Nghiệm hệ pt là  \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right., \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.
VD3: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y\\ 2y+1=z^3+z^2+z\\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.
Giải
\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}(y^3+y^2+y-1)\\ y=\frac{1}{2}(z^3+z^2+z-1)\\ z=\frac{1}{2}(x^3+x^2+x-1) \end{matrix}\right.
Xét f(t)=\frac{1}{2}(t^3+t^2+t-1)
Từ hệ ta có \left\{\begin{matrix} x=f(y)\\ y=f(z)\\ z=f(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow x=f(f(f(x)))
f'(t)=\frac{1}{2}(3t^2+2t+1)>0
Vì a =3 > 0
\Delta '=1-3<0
f(t) đồng biến trên R
x>f(x)\Leftrightarrow f(x)>f(f(x))\Rightarrow f(f(x))>f(f(f(x)))
Suy ra x > x ( vô lý)
x< f(x) tương tự x < x (vô lý)
x = f(x) thỏa mãn hệ
\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(x^3+x^2+x-1)
\Leftrightarrow x^3+x^2+x-1=2x
\Leftrightarrow x^3+x^2-x-1=0
\Leftrightarrow x^2(x+1)-(x+1)=0
\Leftrightarrow (x^2-1)(x+1)=0
\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)=0
\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-1 \end{matrix}
Từ hệ phương trình 
x=y=z=1
x=y=z=-1
VD4: Giải phương trình \left\{\begin{matrix} 3x^2+2x-1<0\\ x^3-3x+1>0 \end{matrix}\right.
Giải
(1)\Leftrightarrow -1<x<\frac{1}{3}
Xét f(x)=x^3-3x+1 nên (-1;\frac{1}{3})
f'(x)=3x^2-3, f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-1=0
\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\notin (-1;\frac{1}{3})\\ \\ x=-1 \notin (-1;\frac{1}{3}) \end{matrix}

Từ bảng biến thiên f(x)>0\forall x\in (-1;\frac{1}{3})

Tập nghiệm hệ bất phương trình (-1;\frac{1}{3})


 







 

 




 


 

 

Giảm 60% học phí 700.000đ 280.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
1
00:55:29 Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Hỏi đáp
10 Bài tập
3
Kiểm tra: Đề thi online Xác định khoảng đơn điệu của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
26/04/2017 - 02/05/2017
8
05/05/2017 Bài 7: Bài toán tìm cực trị
Hỏi đáp
12 Bài tập
10
07/05/2017 Bài 9: Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
Hỏi đáp
17 Bài tập
11
08/05/2017 Bài 10: Tiệm cận
Hỏi đáp
15 Bài tập
12
Kiểm tra: Đề thi online Tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/05/2017 - 14/05/2017
13
09/05/2017 Bài 11: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
14
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
10/05/2017 - 16/05/2017
22
20/05/2017 Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Hỏi đáp
10 Bài tập
23
22/05/2017 Bài 2: Tính thể tích bằng cách trực tiếp
Hỏi đáp
19 Bài tập
24
24/05/2017 Bài 3: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Hỏi đáp
12 Bài tập
26
27/05/2017 Bài 5: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
27
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Khối đa diện
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
28/05/2017 - 03/06/2017
28
30/05/2017 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
29
31/05/2017 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
04/06/2017 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
34
07/06/2017 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
08/06/2017 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
10/06/2017 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
12/06/2017 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
13/06/2017 - 19/06/2017
39
14/06/2017 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
16/06/2017 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
28/06/2017 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
Hỏi đáp
5 Bài tập
47
Kiểm tra: Đề thi online phần Ứng dụng tích vô hướng, có hướng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
29/06/2017 - 05/07/2017
48
30/06/2017 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
51
04/07/2017 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
07/07/2017 - 13/07/2017
57
11/07/2017 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
13/07/2017 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
15/07/2017 - 21/07/2017
61
16/07/2017 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
23/07/2017 - 29/07/2017
66
24/07/2017 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
67
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
25/07/2017 - 31/07/2017
68
26/07/2017 Bài 1: Lũy thừa
Hỏi đáp
5 Bài tập
70
29/07/2017 Bài 3: Phương trình mũ - Phương pháp logarit hóa
Hỏi đáp
5 Bài tập
72
02/08/2017 Bài 5: Phương trình mũ - Phương pháp hàm số
Hỏi đáp
5 Bài tập
73
Kiểm tra: Đề thi online Phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
02/08/2017 - 08/08/2017
77
78
Kiểm tra: Đề thi online Bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
06/08/2017 - 12/08/2017
79
07/08/2017 Bài 9: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
80
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/08/2017 - 14/08/2017
107
14/09/2017 Bài 1: Các khái niệm cơ bản
Hỏi đáp
108
16/09/2017 Bài 2: Phép toán với số phức
Hỏi đáp
109
18/09/2017 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
110
20/09/2017 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
111
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Số phức
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
21/09/2017 - 27/09/2017
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp