Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0989 627 405  Tuyển Giáo Viên

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

Bài giảng Ứng dụng tính đơn điệu giải hệ phương trình sẽ giúp các em nắm kỹ hơn cách giải hệ phương trình, cách tìm tính nghịch biến, đồng biến về tính đơn điệu của hệ phương trình.

NỘI DUNG BÀI HỌC

Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ xét ứng dụng của tính đơn điệu để giải hệ phương trình và hệ bất phương trình, trong việc mà chúng ta muốn giải hệ hoặc là bất phương trình thì chúng cần xác định được chúng ta xét hàm nào, xét trên miền nào. Và các kỹ thuật chúng ta xác định hàm và miền thì nó cũng giống như trong bài toán giải phương trình và bất phương trình.

VD1: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} cotx-coty=x-y\\ 3x+5y=2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right.

Giải
\left\{\begin{matrix} 3x+5y=2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x<2\pi\\ 5y<2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0<x<\frac{2\pi}{3}\\ 0<y<\frac{2\pi}{5} \end{matrix}\right.
Xét f(t)=cott-t trên (0;\frac{2\pi}{3})
f'(t)=-\frac{1}{sin^2t}-1<0

f(t) nghịch biến trên (0;\frac{2\pi}{3})
(1)\Leftrightarrow cotx-x=coty-y
\Leftrightarrow f(x)=f(y)

lại có f(t) nghịch biến trên (0;\frac{2\pi}{3}), x,y\in (0;\frac{2\pi}{3})
suy ra x = y

Hệ pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ 3x+5y=2\pi\\ 0<x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\frac{\pi}{4}
VD2: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right. (A-2003)
Giải
ĐK: x,y\neq 0
Xét f(t)=t-\frac{1}{t}  nên (-\infty ;0);(0;+\infty )
f'(t)=1+\frac{1}{t^2}>0
f(t) đồng biến trên 2 khoảng (-\infty ;0);(0;+\infty )
TH1: x,y\in (0;+\infty )
(1)\Leftrightarrow f(x)=f(y)
lại có f(t) đồng biến trên (0;+\infty )
Suy ra x = y
Hệ pt  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ x^3-2x+1=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ (x-1)(x^3+x-1)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \ (loai)\\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{matrix}\right.
Vậy \left\{\begin{matrix} x=y=1\\ x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.
TH2: x,y\in (-\infty ;0)
Tương tự hệ \left\{\begin{matrix} x=y<0\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y<0\\ x^3-2x+1=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y<0 \ (loai)\\ \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ (loai) \end{matrix} \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow x=y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
TH3: \left\{\begin{matrix} x>0\\ y<0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+1>0\\ 2y<0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow 2y<x^3+1 không thỏa mãn hệ
\left\{\begin{matrix} x<0\\ y>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+1<1\\ 2y>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2y<1\\ x^3+1>0 \end{matrix}\right.
TH4: \left\{\begin{matrix} 0<y<\frac{1}{2}\\ -1<x<0 \end{matrix}\right.
f(t) đồng biến trên (-\infty ;0)(0;+\infty )
-1<x<0\Rightarrow f(-1)<f(x)\Rightarrow 0< x-\frac{1}{x}
0<y<\frac{1}{2}\Rightarrow f(y)<f(\frac{1}{2})\Rightarrow y-\frac{1}{y}< \frac{1}{2}-2< C
Không thỏa mãn pt x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}
KL: Nghiệm hệ pt là  \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right., \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.
VD3: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y\\ 2y+1=z^3+z^2+z\\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.
Giải
\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}(y^3+y^2+y-1)\\ y=\frac{1}{2}(z^3+z^2+z-1)\\ z=\frac{1}{2}(x^3+x^2+x-1) \end{matrix}\right.
Xét f(t)=\frac{1}{2}(t^3+t^2+t-1)
Từ hệ ta có \left\{\begin{matrix} x=f(y)\\ y=f(z)\\ z=f(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow x=f(f(f(x)))
f'(t)=\frac{1}{2}(3t^2+2t+1)>0
Vì a =3 > 0
\Delta '=1-3<0
f(t) đồng biến trên R
x>f(x)\Leftrightarrow f(x)>f(f(x))\Rightarrow f(f(x))>f(f(f(x)))
Suy ra x > x ( vô lý)
x< f(x) tương tự x < x (vô lý)
x = f(x) thỏa mãn hệ
\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(x^3+x^2+x-1)
\Leftrightarrow x^3+x^2+x-1=2x
\Leftrightarrow x^3+x^2-x-1=0
\Leftrightarrow x^2(x+1)-(x+1)=0
\Leftrightarrow (x^2-1)(x+1)=0
\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)=0
\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-1 \end{matrix}
Từ hệ phương trình 
x=y=z=1
x=y=z=-1
VD4: Giải phương trình \left\{\begin{matrix} 3x^2+2x-1<0\\ x^3-3x+1>0 \end{matrix}\right.
Giải
(1)\Leftrightarrow -1<x<\frac{1}{3}
Xét f(x)=x^3-3x+1 nên (-1;\frac{1}{3})
f'(x)=3x^2-3, f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-1=0
\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\notin (-1;\frac{1}{3})\\ \\ x=-1 \notin (-1;\frac{1}{3}) \end{matrix}

Từ bảng biến thiên f(x)>0\forall x\in (-1;\frac{1}{3})

Tập nghiệm hệ bất phương trình (-1;\frac{1}{3})


 







 

 




 


 

 

Giảm 50% học phí 700.000đ 350.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
28
00:20:04 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
29
00:31:25 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
31
00:23:04 Bài 4: Mặt trụ - hình trụ - khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
00:16:58 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
34
00:58:51 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
00:21:56 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
00:15:37 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
00:32:41 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
10 Bài tập
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
48
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
107
00:18:56 Bài 1: Các khái niệm cơ bản
Hỏi đáp
10 Bài tập
108
00:16:15 Bài 2: Phép toán với số phức
Hỏi đáp
10 Bài tập
109
00:25:32 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
10 Bài tập
110
00:21:41 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
10 Bài tập
111
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Số phức
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp