Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

Bài giảng Ứng dụng tính đơn điệu giải hệ phương trình sẽ giúp các em nắm kỹ hơn cách giải hệ phương trình, cách tìm tính nghịch biến, đồng biến về tính đơn điệu của hệ phương trình.

NỘI DUNG BÀI HỌC

Trong bài học hôm nay chúng ta sẽ xét ứng dụng của tính đơn điệu để giải hệ phương trình và hệ bất phương trình, trong việc mà chúng ta muốn giải hệ hoặc là bất phương trình thì chúng cần xác định được chúng ta xét hàm nào, xét trên miền nào. Và các kỹ thuật chúng ta xác định hàm và miền thì nó cũng giống như trong bài toán giải phương trình và bất phương trình.

VD1: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} cotx-coty=x-y\\ 3x+5y=2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right.

Giải
\left\{\begin{matrix} 3x+5y=2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x<2\pi\\ 5y<2\pi\\ 0<x,y<\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0<x<\frac{2\pi}{3}\\ 0<y<\frac{2\pi}{5} \end{matrix}\right.
Xét f(t)=cott-t trên (0;\frac{2\pi}{3})
f'(t)=-\frac{1}{sin^2t}-1<0

f(t) nghịch biến trên (0;\frac{2\pi}{3})
(1)\Leftrightarrow cotx-x=coty-y
\Leftrightarrow f(x)=f(y)

lại có f(t) nghịch biến trên (0;\frac{2\pi}{3}), x,y\in (0;\frac{2\pi}{3})
suy ra x = y

Hệ pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ 3x+5y=2\pi\\ 0<x \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\frac{\pi}{4}
VD2: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right. (A-2003)
Giải
ĐK: x,y\neq 0
Xét f(t)=t-\frac{1}{t}  nên (-\infty ;0);(0;+\infty )
f'(t)=1+\frac{1}{t^2}>0
f(t) đồng biến trên 2 khoảng (-\infty ;0);(0;+\infty )
TH1: x,y\in (0;+\infty )
(1)\Leftrightarrow f(x)=f(y)
lại có f(t) đồng biến trên (0;+\infty )
Suy ra x = y
Hệ pt  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ x^3-2x+1=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y>0\\ (x-1)(x^3+x-1)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \ (loai)\\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{matrix}\right.
Vậy \left\{\begin{matrix} x=y=1\\ x=y=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.
TH2: x,y\in (-\infty ;0)
Tương tự hệ \left\{\begin{matrix} x=y<0\\ 2y=x^3+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y<0\\ x^3-2x+1=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y<0 \ (loai)\\ \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \ (loai) \end{matrix} \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow x=y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}
TH3: \left\{\begin{matrix} x>0\\ y<0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+1>0\\ 2y<0 \end{matrix}\right.
\Rightarrow 2y<x^3+1 không thỏa mãn hệ
\left\{\begin{matrix} x<0\\ y>0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+1<1\\ 2y>0 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2y<1\\ x^3+1>0 \end{matrix}\right.
TH4: \left\{\begin{matrix} 0<y<\frac{1}{2}\\ -1<x<0 \end{matrix}\right.
f(t) đồng biến trên (-\infty ;0)(0;+\infty )
-1<x<0\Rightarrow f(-1)<f(x)\Rightarrow 0< x-\frac{1}{x}
0<y<\frac{1}{2}\Rightarrow f(y)<f(\frac{1}{2})\Rightarrow y-\frac{1}{y}< \frac{1}{2}-2< C
Không thỏa mãn pt x-\frac{1}{x}=y-\frac{1}{y}
KL: Nghiệm hệ pt là  \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=1 \end{matrix}\right., \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.,\left\{\begin{matrix} x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\\ y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.
VD3: Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix} 2x+1=y^3+y^2+y\\ 2y+1=z^3+z^2+z\\ 2z+1=x^3+x^2+x \end{matrix}\right.
Giải
\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}(y^3+y^2+y-1)\\ y=\frac{1}{2}(z^3+z^2+z-1)\\ z=\frac{1}{2}(x^3+x^2+x-1) \end{matrix}\right.
Xét f(t)=\frac{1}{2}(t^3+t^2+t-1)
Từ hệ ta có \left\{\begin{matrix} x=f(y)\\ y=f(z)\\ z=f(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow x=f(f(f(x)))
f'(t)=\frac{1}{2}(3t^2+2t+1)>0
Vì a =3 > 0
\Delta '=1-3<0
f(t) đồng biến trên R
x>f(x)\Leftrightarrow f(x)>f(f(x))\Rightarrow f(f(x))>f(f(f(x)))
Suy ra x > x ( vô lý)
x< f(x) tương tự x < x (vô lý)
x = f(x) thỏa mãn hệ
\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(x^3+x^2+x-1)
\Leftrightarrow x^3+x^2+x-1=2x
\Leftrightarrow x^3+x^2-x-1=0
\Leftrightarrow x^2(x+1)-(x+1)=0
\Leftrightarrow (x^2-1)(x+1)=0
\Leftrightarrow (x+1)^2(x-1)=0
\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-1 \end{matrix}
Từ hệ phương trình 
x=y=z=1
x=y=z=-1
VD4: Giải phương trình \left\{\begin{matrix} 3x^2+2x-1<0\\ x^3-3x+1>0 \end{matrix}\right.
Giải
(1)\Leftrightarrow -1<x<\frac{1}{3}
Xét f(x)=x^3-3x+1 nên (-1;\frac{1}{3})
f'(x)=3x^2-3, f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-1=0
\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\notin (-1;\frac{1}{3})\\ \\ x=-1 \notin (-1;\frac{1}{3}) \end{matrix}

Từ bảng biến thiên f(x)>0\forall x\in (-1;\frac{1}{3})

Tập nghiệm hệ bất phương trình (-1;\frac{1}{3})


 







 

 




 


 

 

Giảm 40% học phí 700.000đ 420.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2017

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam

Chuyên đề 3: Khối đa diện

 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam
23
00:23:12 Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Hỏi đáp
10 Bài tập
24
00:33:36 Bài 2: Tính thể tích bằng cách trực tiếp
Hỏi đáp
19 Bài tập
25
00:41:57 Bài 3: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Hỏi đáp
12 Bài tập
27
00:41:18 Bài 5: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
28

Chuyên đề 4: Khối tròn xoay

 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam
29
00:20:04 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
30
00:31:25 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
33
00:16:58 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
00:58:51 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
00:21:56 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
00:15:37 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
38
00:32:41 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
39
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
40
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
41
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
46
47
49
52
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
54
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
58
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
59
61
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
62
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
66
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
67
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp

Chuyên đề 9: Số phức

 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam
108
109
110
00:25:32 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
111
00:21:41 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
112
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Số phức
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi