Bài 4: Phương trình logarit - Phương pháp đặt ẩn phụ

I. Lý Thuyết
Thường đặt ẩn phụ là 
+ Biểu thức xuất hiện nhiều lần
+ Biểu thức xuất hiện phức tạp

Kiểu 1: Đặt 1 ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
Kiểu 2: Đặt 1 ẩn nhưng không làm mất ẩn ban đầu.
Khi đó: 
+ Xem ẩn ban đầu là tham số
+ Đưa về phương trình tích
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn
Khi đó:
+ Đưa về phương trình tích
+ Xem 1 ẩn là tham số
+ Biểu thức đồng bậc → đưa về phương trình theo 1 ẩn mới.
II. Bài tập
VD1: Giải phương trình \(log_3^2x+3log_{\frac{1}{3}}x+2=0\)
Giải
ĐK: x > 0
\(Pt\Leftrightarrow log_3^2x-3log_3x+2=0\)
Đặt \(t=log_3x\), ta có
\(t^2-3t+2=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} log_3x=1\\ \\ log_3x=2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3\\ \\ x=9 \end{matrix}\) (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm phương trình là {3; 9}
VD2: Giải phương trình 
\(log_2x+log_x2-2=0\)
Giải

ĐK: \(0<x\neq 1\)
Đặt \(t=log_2x\), ta có \(log_x2=\frac{1}{t} \ \ \ (t\neq 0)\)
ta có \(t+\frac{1}{t}-2=0\)
\(\Rightarrow t^2+1-2t=0\)
\(\Rightarrow (t-1)^2=0\)
\(\Rightarrow t=1\)
Với \(t=1\Leftrightarrow log_2x=1\Leftrightarrow x=2\)
Vậy tập nghiệm phương trình là {2}
VD3: Giải phương trình \(log_2(\sqrt{x}+1)=log_3x\)

Giải
ĐK: x > 0
Đặt \(log_2(\sqrt{x}+1)=log_3x=t\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+1=2^t\\ x=3^t \end{matrix}\right.\rightarrow 3^{\frac{t}{2}}+1=4^{\frac{t}{2}}\)
\(\Rightarrow \left ( \frac{3}{4} \right )^{\frac{t}{2}}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{\frac{t}{2}}=1\)
t = 2 là 1 nghiệm
t > 2
\(\left.\begin{matrix} \left ( \frac{3}{4} \right )^\frac{t}{2}<\frac{3}{4}\\ \\ \left ( \frac{1}{4} \right )^\frac{t}{2}< \frac{1}{4} \end{matrix}\right\}VT<1\)
t < 2 tương tự VT > 1
Vậy \(t=2\Rightarrow x=3^2=9\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là {9}

VD4: Giải phương trình \(log_3^2x+(x-12)log_3x+11-x=0\)

Giải

ĐK: \(0<x\neq 1\)
Đặt \(t=log_3x\), ta có 
\(t^2+(x-12)t+11-x=0\)
Cách 1: 
Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=11-x \end{matrix}\)
Với t = 1, ta có \(log_3x = 1\Leftrightarrow x=3\)
Với t = 11 - x, ta có \(log_3x = 11-x\)
\(\Leftrightarrow log_3x +x= 11\)
x = 9 là 1 nghiệm 
x > 9   \(\left.\begin{matrix} log_3x>2\\ x>9 \end{matrix}\right\}BT>11\)
 

\(\begin{matrix} 0<x<9\\ x\neq 1 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\begin{matrix} log_3x<2\\ x<9 \end{matrix}\right\}VT<11\)
Vậy tập nghiệm phương trình là {9}
Cách 2:
\(t^2+(x-12)t+11-x=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-1+(x-12)t+12-x=0\)
\(\Leftrightarrow (t-1)(t+1)+(x-12)(t-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (t-1)(t+x-11)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t+x=11 \end{matrix}\)
VD5: Giải phương trình \(log_3^2x+\sqrt{log_3^2x +1}-5=0\)
Giải

ĐK: 0 < x
Đặt \(t=\sqrt{log_3^2x+1}, t\geq 1\)
Ta có
\(t^2-1+t-5=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-6=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=2\\ t=-3 \ (loai) \end{matrix}\)
Với t = 2 \(\Leftrightarrow \sqrt{log^2_3x+1}=2\)
\(\Leftrightarrow log^2_3x+1=4\)
\(\Leftrightarrow log^2_3x=3\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} log_3x=\sqrt{3}\\ log_3x=-\sqrt{3} \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3^{\sqrt{3}}\\ x=3^{-\sqrt{3}} \end{matrix}\)
Vậy tập nghiệm \(\left \{ 3^{\sqrt{3}};3^{-\sqrt{3}} \right \}\)

VD6: Giải phương trình \(log_2^2(x+2)-3log_2(x+2).log_4x+2log_4^2x=0\)
Giải

ĐK: \(\left\{\begin{matrix} x>0\\ x+2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>0\)
Đặt \(a=log_2(x+2), b=log_4x\), ta có
\(a^2-3ab+2b^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab-2ab+2b^2=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(a-2b)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=b\\ a=2b \end{matrix}\)
TH1:
a = b \(\Leftrightarrow log_2(x+2)=log_4x\Leftrightarrow 2log_2(x+2)=log_2x\)
\(\Rightarrow log_2(x+2)^2=log_2x\Rightarrow (x+2)^2=x\Leftrightarrow x^2+3x+4=0 \ (VN)\)
TH2:
a = 2b
\(\Leftrightarrow log_2(x+2)=2log_4x\Leftrightarrow log_2(x+2)=log_2x\)
\(\Leftrightarrow x+2=x\) (vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm phương trình là {\(\varnothing\)}