Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Lý thuyết

1. Nếu hai khối có cùng chiều cao thì 
\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1}{S_2}

2. Nếu hai khối chóp có cùng diện tích đáy

\frac{V_1}{V_2}=\frac{h_1}{h_2}

3. Cho hình chóp S.ABC, A'\in SA, B'\in SB, C'\in SC

\frac{V_{SA'B'C'}}{V_{SABC}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}

Chứng minh:
\frac{V_{SA'B'C'}}{V_{SABC}}=\frac{V_{C'.SA'B'}}{V_{C.SAB}}= \frac{\frac{1}{3}.C'H'.dt \ \Delta SA'B'}{\frac{1}{3}CH.dt \ \Delta SAB}= \frac{SC'}{SC}.\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}

II. Bài tập
VD1: Cho hình chóp S.ABC, d(SA, BC) = d, góc giữa SA và BC bằng \alpha. CMR: V_{SABC}=\frac{1}{6}SA.BC.d.sin\alpha
Giải
Dựng hình bình hành ABCD
AD // BC, AD = BC
sin\widehat{(SA;BC)}=sin\alpha =sin\widehat{SAD}

d = k/c (BC;(SAD)) do BC // AD

   = d(B;(SAD))

dt \ \Delta ABC=dt \ \Delta ABD

V_{S.ABC}=V_{SABD}=V_{B.SAD}=\frac{1}{3}.d(B;(SAD)).dt \ \Delta SAD

=\frac{1}{3}.d.\frac{1}{2}.SA.AD.sin\widehat{SAD}

=\frac{1}{6}.d.SA.AD.sin\alpha =\frac{1}{6}d.SA.BC.sin\alpha

VD2: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c.
Giải

Cách 1
Gọi M, N, P là các điểm sao cho
B là trung điểm NP
C là trung điểm MP
D là trung điểm MN
Ta có AD = CB = \frac{1}{2} MN
⇒ AM 
\perp AN
Tương tự AM \perp AP, AN \perp AP
Gọi AM = x, AN = y, AP = z
Ta có AM2 + AN2 = MN2
⇔ x2 + y2 = 4b2
Tương tự

AM^2+AP^2=MP^2\Rightarrow x^2+z^2=4c^2

AN^2+AP^2=NP^2\Rightarrow y^2+z^2=4a^2

Ta có:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=4b^2\\ x^2+z^2=4c^2\\ y^2+z^2=4a^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2(a^2+b^2+c^2)

x^2=2(-a^2+b^2+c^2)
y^2=2(a^2+b^2-c^2)
z^2=2(a^2-b^2+c^2)

V_{AMNP}=\frac{1}{3}.AP.\frac{1}{2}AM.AN

=\frac{1}{6}AM.AN.AP=\frac{2\sqrt{2}}{6}\sqrt{(-a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)}

=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{(-a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)}

V_{ABCD}=\frac{1}{4}.V_{AMNP} \ (do \ dt \ BCD=\frac{1}{4} \ dt \ MNP)

=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{(-a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)}

Cách 2: (Sử dụng kết quả VD1)
VD 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện ACB'D' theo V.
Giải

V_{ACB'D'}=V-V_{A.A'B'D'}-V_{B'ABC}-V_{CB'D'C'}-V_{D'ACD}
V_{A.A'B'D'}=\frac{1}{3}.d(A,(A'B'D')).dtA'B'D'
=\frac{1}{3}.d(A,(A'B'D')).\frac{1}{2}.dtA'B'C'D'=\frac{1}{6}V

Tương tự 
V_{B'ABC}=V_{CB'D'C'}=V_{D'ACD}=\frac{V}{6}
V_{ACB'D'}=V-\frac{4}{6}V=\frac{1}{3}V

Chú ý:
V_{AA'B'D'}=\frac{1}{6}.V_{ABCD.A'B'C'D'}

VD4: Cho hình chóp S.ABCD, có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A', B', C' tương tư thuộc cạnh SA, SB, SC sao cho \frac{SA'}{SA}=\frac{1}{3}, \frac{SB'}{SB}=\frac{1}{2}, \frac{SC'}{SC}=\frac{1}{5}. Mặt phẳng (A'B'C') cắt SD tại D'.

a, Tính \frac{SD}{SD'}
b, Tính VSA'B'C'D' theo V.

Giải
a,
\frac{V_{S.A'B'C'D'}}{V_{SABCD}}=\frac{V_{SA'C'B'}}{2.V_{SACB}}+ \frac{V_{SA'C'D'}}{2.V_{SACD}}

=\frac{1}{2}.\frac{SA'}{SA}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SB'}{SB}+\frac{1}{2.} \frac{SA'}{SA}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SD'}{SD}

Tương tự
\frac{V_{SA'B'C'D'}}{V_{SABCD}}=\frac{1}{2}.\frac{SB'}{SB}. \frac{SD'}{SD}.\frac{SA'}{SA}+\frac{1}{2}.\frac{SB'}{SB}. \frac{SD'}{SD}.\frac{SC'}{SC} \ \ (2)


Từ (1) (2) 

\frac{SA'}{SA}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SB'}{SB}+ \frac{SA'}{SA}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SD'}{SD}= \frac{SB'}{SB}.\frac{SD'}{SD}.\frac{SA'}{SA}+ \frac{SB'}{SB}.\frac{SD'}{SD}.\frac{SC'}{SC}

Nhân 2 vế với \frac{SA}{SA'}.\frac{SB}{SB'}.\frac{SC}{SC'}.\frac{SD}{SD'}

 ta có
\frac{SD}{SD'}+\frac{SB}{SB'}=\frac{SA}{SA'}+\frac{SC}{SC'}

\Rightarrow \frac{SD}{SD'}=\frac{SA}{SA'}+\frac{SC}{SC'}-\frac{SB}{SB'}= 3+5-2=6

b, Từ a)
\frac{V_{SA'B'C'D'}}{V_{SABCD}}=\frac{1}{2}.\frac{SA'}{SA}.\frac{SC'}{SC}. \frac{SB'}{SB}+\frac{SA'}{SA}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SD'}{SD}

=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.\frac{1}{6}=\frac{1}{60}+\frac{1}{180}= \frac{1}{45}

\Rightarrow V_{SA'B'C'D'}= \frac{1}{45}.V
 

Giảm 60% học phí 700.000đ 280.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
8
05/05/2017 Bài 7: Bài toán tìm cực trị
Hỏi đáp
12 Bài tập
10
07/05/2017 Bài 9: Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
Hỏi đáp
17 Bài tập
11
08/05/2017 Bài 10: Tiệm cận
Hỏi đáp
15 Bài tập
12
Kiểm tra: Đề thi online Tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/05/2017 - 14/05/2017
13
09/05/2017 Bài 11: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
14
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
10/05/2017 - 16/05/2017
22
20/05/2017 Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Hỏi đáp
10 Bài tập
23
22/05/2017 Bài 2: Tính thể tích bằng cách trực tiếp
Hỏi đáp
19 Bài tập
24
24/05/2017 Bài 3: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Hỏi đáp
12 Bài tập
26
27/05/2017 Bài 5: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
27
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Khối đa diện
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
28/05/2017 - 03/06/2017
28
30/05/2017 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
29
31/05/2017 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
04/06/2017 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
34
07/06/2017 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
08/06/2017 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
10/06/2017 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
12/06/2017 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
13/06/2017 - 19/06/2017
39
14/06/2017 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
16/06/2017 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
28/06/2017 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
Hỏi đáp
5 Bài tập
47
Kiểm tra: Đề thi online phần Ứng dụng tích vô hướng, có hướng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
29/06/2017 - 05/07/2017
48
30/06/2017 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
51
04/07/2017 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
07/07/2017 - 13/07/2017
57
11/07/2017 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
13/07/2017 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
15/07/2017 - 21/07/2017
61
16/07/2017 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
23/07/2017 - 29/07/2017
66
24/07/2017 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
67
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
25/07/2017 - 31/07/2017
68
26/07/2017 Bài 1: Lũy thừa
Hỏi đáp
5 Bài tập
70
29/07/2017 Bài 3: Phương trình mũ - Phương pháp logarit hóa
Hỏi đáp
5 Bài tập
72
02/08/2017 Bài 5: Phương trình mũ - Phương pháp hàm số
Hỏi đáp
5 Bài tập
73
Kiểm tra: Đề thi online Phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
02/08/2017 - 08/08/2017
77
78
Kiểm tra: Đề thi online Bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
06/08/2017 - 12/08/2017
79
07/08/2017 Bài 9: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
80
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/08/2017 - 14/08/2017
107
14/09/2017 Bài 1: Các khái niệm cơ bản
Hỏi đáp
108
16/09/2017 Bài 2: Phép toán với số phức
Hỏi đáp
109
18/09/2017 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
110
20/09/2017 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
111
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Số phức
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
21/09/2017 - 27/09/2017
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp