Hướng dẫn FAQ Hỗ trợ: 0989 627 405  Tuyển Giáo Viên

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Lý thuyết
Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M trên đường thẳng \Delta
Cách 1: 
+ Gọi H là hình chiếu của M trên \Delta
H\in \Delta \Rightarrow Tọa độ H theo 1 ẩn
\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{U_\Delta }=0\Rightarrow ẩn
Cách 2: 
+ Viết phương trình (P) chứa M và vuông góc 
\Delta
H=(P)\cap \Delta
Bài toán 2: Tìm tọa độ M' đối xứng với M qua \Delta
+ Tìm tọa độ H là hình chiếu của M trên \Delta
+ Tìm M' sao cho H là trung điểm MM'
\left\{\begin{matrix} x_{M'}=2x_H-x_M\\ y_{M'}=2y_H-y_M\\ z_{M'}=2z_H-z_M \end{matrix}\right.
Bài toán 3: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Tìm A\in a,B\in b sao cho ABmin.
A\in a\Rightarrow Tọa độ A theo 1 ẩn
B\in b\Rightarrow Tọa độ B theo 1 ẩn
ABmin\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_a}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_b}=0 \end{matrix}\right.

II. Bài tập
VD1: Cho M(1;2;3) và đường thẳng \Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}. Tìm tọa độ.
a) Hình chiếu H của M trên \Delta
b) M' đối xứng với M qua \Delta
Giải
a)
H\in \Delta \Rightarrow H(1+2t;-t;-1+2t)
\overrightarrow{MH}=(2t;-t-2;2t-4)
H là hình chiếu của M trên \Delta khi \overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u}=0
\Leftrightarrow 2.2t-1(-t-2)+2(2t-4)=0
\Leftrightarrow 9t-6=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}
\Rightarrow H(\frac{7}{3};-\frac{2}{3};-\frac{1}{3})
b)
M' đối xứng với M qua \Delta khi H là trung điểm MM'
\left\{\begin{matrix} x_{M'}=2x_H-x_M=\frac{14}{3}-1=\frac{11}{3}\\ \\ y_{M'}=2y_H-y_M=-\frac{4}{3}-2=-\frac{10}{3}\\ \\ z_{M'}=2z_H-z_M=-\frac{2}{3}-3=-\frac{11}{3} \end{matrix}\right.
Vậy \left ( \frac{11}{3};-\frac{10}{3};-\frac{11}{3} \right )
VD2: Cho A(1;0;2), B(3;-1;1) và đường thẳng \Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}
a) \left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right |min
b) \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2 \ min
Giải
a)
Cách 1:

Gọi I là trung điểm AB ta có I(2;-\frac{1}{2};\frac{3}{2})
ta có T=\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right |= \left | 2.\overrightarrow{MI} \right |=2.MI
T_{min}\Leftrightarrow MI_{min} mà M\in \Delta. Điều này sảy ra khi M là hình chiếu của I trên \Delta 
M\in \Delta nên M (1+2t;t;2+2t)
\overrightarrow{IM}=(2t-1;t+\frac{1}{2};2t+\frac{1}{2})
M là hình chiếu trên \Delta nên \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u}=0
\Leftrightarrow 2(2t-1)+t+\frac{1}{2}+2(2t+\frac{1}{2})=0
\Leftrightarrow 9t-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{18}
Vậy M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})

Cách 2:
M\in \Delta \Rightarrow M(1+2t;t;2+2t)
\overrightarrow{MA}=(-2t;-t;-2t)
\overrightarrow{MB}=(2-2t;-1-t;-1-2t)
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(2-4t;-1-2t;-1-4t)
\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right |= \sqrt{(2-4t)^2+(-1-2t)^2+(-1-4t)^2}
=\sqrt{36t^2-4t+6}=\sqrt{(6t)^2-2.6t.\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{53}{9}}
=\sqrt{(6t-\frac{1}{3})^2+\frac{53}{9}}\geqslant \frac{53}{9}
T_{min}=\frac{53}{9} \ khi \ 6t =\frac{1}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{8}
Vậy M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})
b)
I là trung điểm AB  I(2;-\frac{1}{2};\frac{3}{2})
Cách 1:
T_1=MA^2+MB^2=\overrightarrow{MA^2}+\overrightarrow{MB^2}
=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2 =2MI^2+2\overrightarrow{MI}(\underset{\overrightarrow{0}}{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}})+IA^2+IB^2
=2MI^2+\underset{0 \ doi}{IA^2+IB^2}
T_1 min \Leftrightarrow MI^2min\Leftrightarrow M là hình chiếu của I trên \Delta
Theo a) ta có M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})
Cách 2:
M\in \Delta \Rightarrow M(1+2t;t;2+2t)
MA^2=(2t^2)+t^2+(2t)^2=9t^2
MB^2=(2t-2)^2+(t+1)^2+(2t+1)^2=9t-2t+6
MA^2+MB^2=18t^2-2t+6
=18(t^2-2.t.\frac{1}{18}+\frac{1}{18^2})+\frac{107}{18}
=18(t-\frac{1}{18})^2+\frac{107}{18}\geqslant \frac{107}{18}
MA^2+MB^2min=\frac{107}{18} \ khi \ t=\frac{1}{18}\rightarrow M(\frac{10}{9};\frac{1}{18};\frac{19}{9})
VD3: Cho 2 đường thẳng chéo nhau \Delta _1:\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-2} \ \Delta _2:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=t\\ z=5-t \end{matrix}\right.
Tìm tọa độ điểm A\in \Delta _1,B\in \Delta _2 sao cho ABmin

Giải
A\in \Delta _1\Rightarrow A(2a;2+a;-1-2a)
B\in \Delta _2\Rightarrow B(1+2t;t;5-t)
\overrightarrow{AB}=(2t-2a+1;t-a-2;-t+2a+6)
AB_{min}\left\{\begin{matrix} AB\perp \Delta _1\\ AB\perp \Delta _2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0 \ \ \ \overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \ \ \ \overrightarrow{u_2}=(2;2;-1) \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4t-4a+2+t-a-2+2t-4a-12=0\\ 4t-4a+2+t-a-2+t-2a-6=0 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6t-9a=12\\ 6t-7a=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 42t-54a=72\\ 42t-49a=42 \end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-6\\ t=-6 \end{matrix}\right.\Rightarrow \begin{matrix} A(-12;-4;11)\\ B(-11;-6;11) \end{matrix}
VD4: Cho \Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}, A(0;1;2),B(-1;2;3). Tìm M\in \Delta sao cho \left | 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right |min
Giải
M\in \Delta \Rightarrow M(t;1+2t;-1-2t)
\overrightarrow{MA}=(-t;2t;3+2t)\Rightarrow 2\overrightarrow{MA}=(-2t;4t;6+4t)
\overrightarrow{MB}=(-1-t;1-2t;4+2t)
2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}= \sqrt{(-t+1)^2+(6t-1)^2+(2t+2)^2}=\sqrt{41t^2-6t+6}
=\sqrt{41\left ( t^2-2.t.\frac{3}{41}+\frac{3^2}{41^2} \right )+\frac{237}{41}}
=\sqrt{41 \left ( t-\frac{3}{41} \right )^2+\frac{237}{41}}\geqslant \sqrt{\frac{237}{41}}
\left | 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right |min\Leftrightarrow t= \frac{3}{41}
Vậy M\left ( \frac{3}{41};\frac{47}{41};-\frac{47}{41} \right )

Giảm 50% học phí 700.000đ 350.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
29
00:31:25 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
31
00:23:04 Bài 4: Mặt trụ - hình trụ - khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
00:16:58 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
34
00:58:51 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
00:21:56 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
00:15:37 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
00:32:41 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
48
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp