Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Lý thuyết
\Delta _1 đi qua M1 và có 1 VTCP \overrightarrow{u_1}
\Delta _2 đi qua M2 và có 1 VTCP \overrightarrow{u_2}

1) \Delta _1\Delta _2 chéo nhau
\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0
2)
\Delta _1\Delta _2 cắt nhau
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
3)

\Delta _1 // \Delta _2
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.
4)
\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.
II. Bài tập
VD1:
Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau đây \Delta _1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{-1}; \ \Delta _2:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=1+2t \end{matrix}\right.

Giải
\Delta _1 đi qua M1(1;0;-2), có 1 VTCP \overrightarrow{u_1}=(2;3;-1)
\Delta _2 đi qua M2(1;0;-2), có 1 VTCP \overrightarrow{u_2}=(1;2;2)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 3 \ \ -1\\ 2 \ \ \ \ 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 \ \ 2\\ 2 \ \ 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ 3\\ 1 \ \ \ 2 \end{vmatrix} \right )=(8;-5;1)
\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;0;3)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= 8.(-1)+(-5).0+1.3=-5\neq 0
Vậy \Delta _1\Delta _2 chéo nhau.
VD2: Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng
\Delta _1:\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t \end{matrix}\right. \ \ \Delta _2:\left\{\begin{matrix} x=2t\\ y=3-2t\\ z=1+4t \end{matrix}\right.
Giải
\Delta _1 đi qua M1(1;2;3), có 1 VTCP \overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)
\Delta _2 đi qua M2(0;3;1), có 1 VTCP \overrightarrow{u_2}=(2;-2;4)
\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{u_1}
M_1\in \Delta _2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1=2t\\ 2=3-2t\\ 3=1+4t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\frac{1}{2}\\ \\ t=\frac{1}{2}\\ \\ t=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.
Vậy M_1\in \Delta _2
Vậy \Delta _1\equiv \Delta _2
VD3: Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua M(1;2;3) và song song với d:\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=-1-2t \end{matrix}\right.
Giải
\Delta // d nên \Delta nhận \overrightarrow{u_d}=(-2;1;-2) làm 1 VTCP
pt \ \Delta \left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=3-2t \end{matrix}\right. (thỏa mãn vì M\in d)
 

VD4: Cho d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}
d_2:\left\{\begin{matrix} x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=3 \end{matrix}\right.
a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường thẳng \Delta \perp (P) \ \ 7x+y-4z=0 đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 
Giải
a)
d1 đi qua M1(0;1;-2), có 1 VTVP \overrightarrow{u_1}=(2;-1;1)
dđi qua M2(-1;1;3), có 1 VTVP \overrightarrow{u_2}=(2;1;0)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} -1 \ \1\\ 1 \ \ 0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 \ \ 2\\ 0 \ \ 2 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ -1\\ 2 \ \ 1 \end{vmatrix} \right )=(-1;2;4)
\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;0;5)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= (-1).(-1)+2.0+4.5=21\neq 0
Vậy d1,d2 chéo nhau.
b)
Phân tích

* Viết phương trình (\alpha ) chứa d_1, \perp (P)

\overrightarrow{n_\alpha }\perp \overrightarrow{u_1 }=(2;-1;1)
\overrightarrow{n_\alpha }\perp \overrightarrow{n_P}=(7;1;-4)
Chọn \overrightarrow{n_\alpha }=\left [ \overrightarrow{n_1 }; \overrightarrow{n_P }\right ]= \left ( \begin{vmatrix} -1 \ \ 1\\ 1 \ \ -4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \ \ 2\\ -4 \ \ 7 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \ \ -1\\ 7 \ \ 1 \end{vmatrix} \right )=(3;15;9)
\Rightarrow \overrightarrow{n_\alpha }'=(1;5;3) là 1 VTPT (\alpha )
M_1(0;1;-2)\in d_1\Rightarrow M_1(0;1;-2)\in (\alpha )
pt \ (\alpha ): 1(x-0)+5(y-1)+3(z+2)=0
\Leftrightarrow x+5y+3z+1=0
* Viết phương trình (\beta ) chứa d2 và vuông góc (P)
\begin{matrix} \overrightarrow{n_\beta }\perp \overrightarrow{u_2 }=(2;1;0) \ \ \\ \overrightarrow{n_\beta }\perp \overrightarrow{n_P}=(7;1;-4) \end{matrix}
Chọn 
\overrightarrow{n_\beta }=\left [ \overrightarrow{u_2}; \overrightarrow{n_P} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 1\ \ 0\\ 1 \ \-4 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0\ \ 2\\ -4 \ \7 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2\ \ 1\\ 7 \ \1 \end{vmatrix} \right )=(-4;8;-5)
M_2(-1;1;3)\in d_2\Rightarrow M_2\in (\beta )
pt (\beta ): -4(x+1)+8(y-1)-5(z-3)=0
\Leftrightarrow -4x+8y-5z+3=0
\Delta =(\alpha )\cap (\beta )
Cho y = 0 ta có \left\{\begin{matrix} x+3z+1=0\\ -4x-5z+3=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ z=-1 \end{matrix}\right.
M(2;0;-1)\in \Delta
\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n_\alpha }'=(1;5;3)
\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n_\beta }'=(-4;8;-5)
Chọn
\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{n_\alpha }';\overrightarrow{n_\beta} \right ]=\left ( \begin{vmatrix} 5 \ \ 3\\ 8 \ \ -5 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 \ \ 1\\ -5 \ \ -4 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 \ \ 5\\ -4 \ \ 8 \end{vmatrix}\right )=(-49;-7;28)
hay \overrightarrow{u}'=(-7;-1;4) là 1 VTCP \Delta
pt \ \Delta \left\{\begin{matrix} x=2-7t\\ y=0-t\\ z=-1+4t \end{matrix}\right.
Cách 2:
A=\Delta \cap d_1\Rightarrow A\in d_1\Rightarrow A(2a;1-a;2+a)
B=\Delta \cap d_2\Rightarrow B\in d_2\Rightarrow B(-1+2t;1+t;3)
\overrightarrow{AB}=(-1+2t-2a;t+a;1-a)
A,B\in \Delta , \ \ \Delta \perp (P)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{n_P}
\left\{\begin{matrix} -1+2t-2a=7k\\ t+a=k\\ 1-a=-4k \end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1+4k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ t+1+4k=k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ -1+2t-2-8k=7k\ \ \ \ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t-3k=-1\\ 2t-15k=3\\ a=1+4k \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=-\frac{5}{9}\\ \\ t=-\frac{8}{3}\\ \\ a=-\frac{11}{9} \end{matrix}\right.
\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left ( -\frac{35}{9};-\frac{5}{9};\frac{20}{9} \right )
A\left ( -\frac{22}{9};-\frac{2}{9};\frac{7}{9} \right )
Pt \ \Delta \left\{\begin{matrix} x=-\frac{22}{9}+7t\\ y=-\frac{2}{9}+t \ \ \ \ \\ z=\frac{7}{9}-4t \end{matrix}\right.

Giảm 60% học phí 700.000đ 280.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2018

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
1
00:55:29 Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Hỏi đáp
10 Bài tập
3
Kiểm tra: Đề thi online Xác định khoảng đơn điệu của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
26/04/2017 - 02/05/2017
8
05/05/2017 Bài 7: Bài toán tìm cực trị
Hỏi đáp
12 Bài tập
10
07/05/2017 Bài 9: Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
Hỏi đáp
17 Bài tập
11
08/05/2017 Bài 10: Tiệm cận
Hỏi đáp
15 Bài tập
12
Kiểm tra: Đề thi online Tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/05/2017 - 14/05/2017
13
09/05/2017 Bài 11: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
14
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
10/05/2017 - 16/05/2017
22
20/05/2017 Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Hỏi đáp
10 Bài tập
23
22/05/2017 Bài 2: Tính thể tích bằng cách trực tiếp
Hỏi đáp
19 Bài tập
24
24/05/2017 Bài 3: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Hỏi đáp
12 Bài tập
26
27/05/2017 Bài 5: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
27
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Khối đa diện
0 Hỏi đáp
90 phút
20 Câu hỏi
28/05/2017 - 03/06/2017
28
30/05/2017 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
29
31/05/2017 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
32
04/06/2017 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
34
07/06/2017 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
08/06/2017 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
10/06/2017 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
12/06/2017 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
38
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
13/06/2017 - 19/06/2017
39
14/06/2017 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
40
16/06/2017 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
45
46
28/06/2017 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
Hỏi đáp
5 Bài tập
47
Kiểm tra: Đề thi online phần Ứng dụng tích vô hướng, có hướng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
29/06/2017 - 05/07/2017
48
30/06/2017 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
51
04/07/2017 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
07/07/2017 - 13/07/2017
57
11/07/2017 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
58
13/07/2017 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
15/07/2017 - 21/07/2017
61
16/07/2017 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
23/07/2017 - 29/07/2017
66
24/07/2017 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
67
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
25/07/2017 - 31/07/2017
68
26/07/2017 Bài 1: Lũy thừa
Hỏi đáp
5 Bài tập
70
29/07/2017 Bài 3: Phương trình mũ - Phương pháp logarit hóa
Hỏi đáp
5 Bài tập
72
02/08/2017 Bài 5: Phương trình mũ - Phương pháp hàm số
Hỏi đáp
5 Bài tập
73
Kiểm tra: Đề thi online Phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
02/08/2017 - 08/08/2017
77
78
Kiểm tra: Đề thi online Bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
06/08/2017 - 12/08/2017
79
07/08/2017 Bài 9: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
80
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
08/08/2017 - 14/08/2017
107
14/09/2017 Bài 1: Các khái niệm cơ bản
Hỏi đáp
108
16/09/2017 Bài 2: Phép toán với số phức
Hỏi đáp
109
18/09/2017 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
110
20/09/2017 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
111
Kiểm tra: Đề thi online chuyên đề Số phức
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
21/09/2017 - 27/09/2017
112
Bài học 1
Hỏi đáp
113
Bài học 2
Hỏi đáp
114
Bài học 3
Hỏi đáp
115
Bài học 4
Hỏi đáp
116
Bài học 5
Hỏi đáp