Hướng dẫn Hỗ trợ: 098 1821 807 (8h30 - 21h)

GIỚI THIỆU BÀI HỌC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Lý thuyết
\Delta _1 đi qua M1 và có 1 VTCP \overrightarrow{u_1}
\Delta _2 đi qua M2 và có 1 VTCP \overrightarrow{u_2}

1) \Delta _1\Delta _2 chéo nhau
\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0
2)
\Delta _1\Delta _2 cắt nhau
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.
3)

\Delta _1 // \Delta _2
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.
4)
\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.
II. Bài tập
VD1:
Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau đây \Delta _1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{-1}; \ \Delta _2:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=2t\\ z=1+2t \end{matrix}\right.

Giải
\Delta _1 đi qua M1(1;0;-2), có 1 VTCP \overrightarrow{u_1}=(2;3;-1)
\Delta _2 đi qua M2(1;0;-2), có 1 VTCP \overrightarrow{u_2}=(1;2;2)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 3 \ \ -1\\ 2 \ \ \ \ 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 \ \ 2\\ 2 \ \ 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ 3\\ 1 \ \ \ 2 \end{vmatrix} \right )=(8;-5;1)
\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;0;3)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= 8.(-1)+(-5).0+1.3=-5\neq 0
Vậy \Delta _1\Delta _2 chéo nhau.
VD2: Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng
\Delta _1:\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t \end{matrix}\right. \ \ \Delta _2:\left\{\begin{matrix} x=2t\\ y=3-2t\\ z=1+4t \end{matrix}\right.
Giải
\Delta _1 đi qua M1(1;2;3), có 1 VTCP \overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)
\Delta _2 đi qua M2(0;3;1), có 1 VTCP \overrightarrow{u_2}=(2;-2;4)
\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{u_1}
M_1\in \Delta _2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1=2t\\ 2=3-2t\\ 3=1+4t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\frac{1}{2}\\ \\ t=\frac{1}{2}\\ \\ t=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.
Vậy M_1\in \Delta _2
Vậy \Delta _1\equiv \Delta _2
VD3: Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua M(1;2;3) và song song với d:\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=-1-2t \end{matrix}\right.
Giải
\Delta // d nên \Delta nhận \overrightarrow{u_d}=(-2;1;-2) làm 1 VTCP
pt \ \Delta \left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=3-2t \end{matrix}\right. (thỏa mãn vì M\in d)
 

VD4: Cho d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}
d_2:\left\{\begin{matrix} x=-1+2t\\ y=1+t\\ z=3 \end{matrix}\right.
a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường thẳng \Delta \perp (P) \ \ 7x+y-4z=0 đồng thời cắt hai đường thẳng d1, d2 
Giải
a)
d1 đi qua M1(0;1;-2), có 1 VTVP \overrightarrow{u_1}=(2;-1;1)
dđi qua M2(-1;1;3), có 1 VTVP \overrightarrow{u_2}=(2;1;0)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} -1 \ \1\\ 1 \ \ 0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 \ \ 2\\ 0 \ \ 2 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ -1\\ 2 \ \ 1 \end{vmatrix} \right )=(-1;2;4)
\overrightarrow{M_1M_2}=(-1;0;5)
\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= (-1).(-1)+2.0+4.5=21\neq 0
Vậy d1,d2 chéo nhau.
b)
Phân tích

* Viết phương trình (\alpha ) chứa d_1, \perp (P)

\overrightarrow{n_\alpha }\perp \overrightarrow{u_1 }=(2;-1;1)
\overrightarrow{n_\alpha }\perp \overrightarrow{n_P}=(7;1;-4)
Chọn \overrightarrow{n_\alpha }=\left [ \overrightarrow{n_1 }; \overrightarrow{n_P }\right ]= \left ( \begin{vmatrix} -1 \ \ 1\\ 1 \ \ -4 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \ \ 2\\ -4 \ \ 7 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \ \ -1\\ 7 \ \ 1 \end{vmatrix} \right )=(3;15;9)
\Rightarrow \overrightarrow{n_\alpha }'=(1;5;3) là 1 VTPT (\alpha )
M_1(0;1;-2)\in d_1\Rightarrow M_1(0;1;-2)\in (\alpha )
pt \ (\alpha ): 1(x-0)+5(y-1)+3(z+2)=0
\Leftrightarrow x+5y+3z+1=0
* Viết phương trình (\beta ) chứa d2 và vuông góc (P)
\begin{matrix} \overrightarrow{n_\beta }\perp \overrightarrow{u_2 }=(2;1;0) \ \ \\ \overrightarrow{n_\beta }\perp \overrightarrow{n_P}=(7;1;-4) \end{matrix}
Chọn 
\overrightarrow{n_\beta }=\left [ \overrightarrow{u_2}; \overrightarrow{n_P} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 1\ \ 0\\ 1 \ \-4 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0\ \ 2\\ -4 \ \7 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 2\ \ 1\\ 7 \ \1 \end{vmatrix} \right )=(-4;8;-5)
M_2(-1;1;3)\in d_2\Rightarrow M_2\in (\beta )
pt (\beta ): -4(x+1)+8(y-1)-5(z-3)=0
\Leftrightarrow -4x+8y-5z+3=0
\Delta =(\alpha )\cap (\beta )
Cho y = 0 ta có \left\{\begin{matrix} x+3z+1=0\\ -4x-5z+3=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ z=-1 \end{matrix}\right.
M(2;0;-1)\in \Delta
\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n_\alpha }'=(1;5;3)
\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{n_\beta }'=(-4;8;-5)
Chọn
\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{n_\alpha }';\overrightarrow{n_\beta} \right ]=\left ( \begin{vmatrix} 5 \ \ 3\\ 8 \ \ -5 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 \ \ 1\\ -5 \ \ -4 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 1 \ \ 5\\ -4 \ \ 8 \end{vmatrix}\right )=(-49;-7;28)
hay \overrightarrow{u}'=(-7;-1;4) là 1 VTCP \Delta
pt \ \Delta \left\{\begin{matrix} x=2-7t\\ y=0-t\\ z=-1+4t \end{matrix}\right.
Cách 2:
A=\Delta \cap d_1\Rightarrow A\in d_1\Rightarrow A(2a;1-a;2+a)
B=\Delta \cap d_2\Rightarrow B\in d_2\Rightarrow B(-1+2t;1+t;3)
\overrightarrow{AB}=(-1+2t-2a;t+a;1-a)
A,B\in \Delta , \ \ \Delta \perp (P)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{n_P}
\left\{\begin{matrix} -1+2t-2a=7k\\ t+a=k\\ 1-a=-4k \end{matrix}\right.
\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1+4k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ t+1+4k=k \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ -1+2t-2-8k=7k\ \ \ \ \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t-3k=-1\\ 2t-15k=3\\ a=1+4k \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} k=-\frac{5}{9}\\ \\ t=-\frac{8}{3}\\ \\ a=-\frac{11}{9} \end{matrix}\right.
\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left ( -\frac{35}{9};-\frac{5}{9};\frac{20}{9} \right )
A\left ( -\frac{22}{9};-\frac{2}{9};\frac{7}{9} \right )
Pt \ \Delta \left\{\begin{matrix} x=-\frac{22}{9}+7t\\ y=-\frac{2}{9}+t \ \ \ \ \\ z=\frac{7}{9}-4t \end{matrix}\right.

Giảm 40% học phí 700.000đ 420.000đ

NỘI DUNG KHÓA HỌC

Học thử khóa H2 môn Toán năm 2017

Trải nghiệm miễn phí 8 bài học Chuyên đề 1: Đạo hàm và ứng dụng
 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam

Chuyên đề 3: Khối đa diện

 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam
23
00:23:12 Bài 1: Khái niệm khối đa diện
Hỏi đáp
10 Bài tập
24
00:33:36 Bài 2: Tính thể tích bằng cách trực tiếp
Hỏi đáp
19 Bài tập
25
00:41:57 Bài 3: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Hỏi đáp
12 Bài tập
27
00:41:18 Bài 5: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
28

Chuyên đề 4: Khối tròn xoay

 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam
29
00:20:04 Bài 1: Mặt nón - hình nón - khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
30
00:31:25 Bài 2: Thể tích khối nón
Hỏi đáp
10 Bài tập
33
00:16:58 Bài 5: Thể tích khối trụ
Hỏi đáp
10 Bài tập
35
00:58:51 Bài 7: Mặt cầu - hình cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
36
00:21:56 Bài 8: Thể tích khối cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
37
00:15:37 Bài 9: Diện tích mặt cầu
Hỏi đáp
10 Bài tập
38
00:32:41 Bài 10: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp
39
Đề thi online chuyên đề Khối tròn xoay
0 Hỏi đáp
60 phút
20 Câu hỏi
40
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
41
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
Hỏi đáp
5 Bài tập
46
47
49
52
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
Hỏi đáp
6 Bài tập
54
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
58
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
Hỏi đáp
5 Bài tập
59
61
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi
62
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
Hỏi đáp
6 Bài tập
66
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
0 Hỏi đáp
45 phút
20 Câu hỏi

Chuyên đề 9: Số phức

 Giáo viên: TS.Phạm Sỹ Nam
108
109
110
00:25:32 Bài 3: Giải phương trình
Hỏi đáp
111
00:21:41 Bài 4: Ôn tập, nâng cao
Hỏi đáp